从一到无穷大

第二章 自然数和人工数 一、*基础的数学 数学经常被人们誉为科学的皇后，数学家们尤其喜欢这样说。既然贵为皇后，当然不能自降身价，与其他知识分支攀扯不清。在一次“基础数学与应用数学联席大会”上，为了消除两种数学家间的敌意，希尔伯特曾应邀作一次公开演讲。当时，他是这样说的: 经常有人说，基础数学和应用数学是相互对立的。然而，这并不是事实。不管是过去，还是未来，这两者其实都不曾对立过。为什么这样说呢?因为它们之间毫无共同之处，这也就注定了它们对立不起来。 可是，数学虽然想保持纯粹，并竭尽所能地不与其他科学扯上关系，但其他科学一直以来却总是极力与它“亲近”，特别是 物理学。现在，基础数学的每一个分支，包括像抽象群理论、非交换代数和非欧几里得几何这样的，一直被认为是*纯粹、不可能被应用的学科，几乎都可以被用来解释物理世界的这个特征或那个特征。 不过，到目前为止，有一个巨大的数学分支成功地保住了自己的“纯粹”，除了被用来做一些脑力训练外，它几乎没有什么用。这个被誉为“纯粹王者”的数学分支，就是基础数学思想中*古老、*繁杂的产物之一——“数论”(这里是指整数)。 可是，数论虽然是一种*纯粹的数学，但从某种角度来说，它又可以被称为一种经验科学，甚至也可以称为一种实验科学。不得不说，这确实是一件奇怪的事。之所以会这样，是因为数论命题的建立，绝大部分都和尝试用数字做某些事情有关，就好像 物理学定律的提出与尝试用物体做不同的事情有关一样。除此之外，数论和物理学还有一点十分相似，那就是“在数学上”，数论虽然有一部分命题得到了证明，但还有另一部分命题仍然停留在经验阶段，并且直到今天，依旧令*优秀的数学家们殚精竭虑。 为了说明这一点，我们用质数问题来举个例子。何为质数？即无法用两个或两个以上更小整数的乘积来表示的数，比如 2、 3、5、7、11、13、17 等，都是质数。反过来，12 就不是质数，因为它可以写成 2×2×3。那究竟有多少个质数呢?这个数量是无穷无尽的吗?还是说存在着一个*大的质数，但凡一个数比这个*大的质数还要大，那它就可以用几个已有质数的乘积来表示?**个解决这个问题的人是欧几里得(Euclid)，他轻而易举地就证明了，质数的个数没有极限，所谓的“*大质数”根本不存在。 为了研究这个问题，我们先假设已经知道的质数其个数是有限的，并用字母N来表示其中*大的那个。现在，我们将所有已知的质数相乘并加 1，将它写成(1×2×3×5×7×11×13×... ×N)+1。然后就会发现，与所谓的“*大质数”N 相比，这个 数显然要大得多，而且从这个数的结构上来看，无论我们用这些 质数中的哪一个来除它，*后都会剩下一个 1。也就是说，不管 是哪一个质数(到N 为止，包括N)，都不可能将它除尽。 由此可以推断，这个数很可能本身就是一个质数，如果不是，那它就必定能被一个比 N 更大的质数整除。可是，当初我们假设条件时就已经说了，N 才是*大的质数，刚才提到的两种情况显然都与这一点相矛盾。 这种证明方法就是数学家们*喜欢用的归谬法。 既然知道了质数的个数是无限的，那我们难免想知道是否有 办法将所有质数全部写出来。针对这个问题，古希腊哲学家和数 学家厄拉多塞(Eratosthenes)想到了一种被称为“过筛”的方法。 应用这种方法时，我们要先写出完整的自然数列，即 1，2，3，4...，然后将 2 的倍数、3 的倍数、5 的倍数等全部删掉。图 9显示的就 是厄拉多塞在使用“过筛”法，他对前 100 个数进行过筛，*后剩下 26 个质数。这种方法虽然简单，但却有大用。事实上，我们已经利用这种方法制作出了 10 亿以内的质数表。 如果能设计出一个可以快速自动推算出所有质数且只推算质数的公式，那就太好了。可令人惋惜的是，虽然几个世纪以来， 人们一直在坚持不懈地努力，但却始终没有找到这样的公式。法国著名数学家费马(Fermat)在 1640 年时曾宣称，他已经设计出 了一个只产生质数的公式，即 22n )+1——其中 n 取自然数的值， 如 1、2、3、4 等。 我们通过这个公式可以得到: 221+1=5，222+1=17， 223+1=257， 224+1=65537。 这几个数无一例外，确实都是质数。可是后来，瑞士数学家欧拉(Leonard Euler)却对这个公式提出了质疑，当时距离费马 宣布发现这个公式大概已经过去了一个世纪。欧拉用事实证明了费马的公式是错误的，因为按这个公式推导出的第五个数并不是质数，而是6 700 417 和 641 的乘积。 还有另一个备受瞩目、可以产生很多质数的公式，即 n2- n+41。这个公式中的 n 和上个公式中的一样，也取 1，2，3 等自 然数的值。可惜后来人们发现，这个公式的适用性十分有限，n 必须选取 1 到 40 之间的自然数，一旦超过 40，这个公式产生的 数就不一定是质数了。比如当 n=41 时，带入这个公式得到 412- 41+41=412=41×41。显然，这个算式的结果并非质数，而是一个平方数。 除此之外，人们还尝试过用另一个公式来产生质数，这个公式就是 n2-79n+1601。可惜*后的事实证明，这个公式也无法保证能够一直产生质数。事实上，当n 是 1 到 79 之间的某个自然数时，这个公式确实能产生质数，但当 n 等于 80 时，所得的结果就不是质数了。 因此直到今天，人们依旧没有找到只产生质数的普遍公式。