李群与李代数基础

第0章 引言 在19世纪的数学中， 群无疑是*深刻的新概念. 群论产生于求解代数方程的研究， 即阿贝尔与伽罗瓦的工作. 到了 19 世纪后期， 群论已深入一些其他领域， 如几何学（在今天可以称为 “线性几何”， 主要是射影几何）、运动学、晶体结构（费得罗夫（Federov）与熊夫利（Schoenflies）对空间群的分类）等， 而射影群是一种连续群， 即今天所说的李群. 在今天看来， 群是研究运动与对称性的根本工具. 在这样的背景下， 挪威数学家索弗斯 李（Sophus Lie）类比地考虑能否用连续群研究 “连续的” 方程， 即微分方程， 如同用离散群研究 “离散的” 方程， 即代数方程那样. 李以毕生的精力研究这一课题， 而这一课题涉及很多领域， 除了群论和微分方程外还有线性几何、微分几何、解析函数论、线性空间与二次型、交换与非交换代数、拓扑学等. 李群的奠基性工作是由李及 W. Killing， E. Cartan， H.Weyl 等完成的. 直到今天， 李群仍是很多人研究的一个数学分支. 在此之后， 李群的基本概念、方法和结果逐渐渗透到很多其他领域， 包括微分方程、微分几何、复几何、代数学、数论、代数几何、动力系统等基础数学分支以及物理、化学、应用数学以至工程技术等领域， 成为一个重要的工具， 而且有深远的思想影响. 简言之， 李群就是有几何结构的群， 也可以看作具有群结构的几何 “空间”. 两个方面的结构， 即几何结构与群结构， 既同时起作用又相互制约， 使得李群具有丰富的内涵， 且具有复杂的结构与性质. 由此不难理解， 李群论具有显著的多学科交叉性， 而对李群的研究需要广博的数学基础. 在很多学科（如代数或复几何）中李群都是很特殊的一类对象. 然而， 李群在很多领域经常自然地出现， 并且常常起着重要的甚至关键的作用. 因此李群是一个备受重视的课题， 很多高校数学专业都开设李群（或李群与李代数）基础课程. 本书针对数学各专业及一些相关专业（如理论物理）的学生和研究者对于李群与李代数知识的基本需要， 不涉及很深入且很专门的内容. 本书的预备知识包括大学本科的微积分、线性代数、常微分方程、复分析和抽象代数课程的基本内容. 但是， 鉴于学习这一课题需要多方面的数学基础， 且经常会有比大学本科课程高一些的要求， 前几章中在分析、代数、几何等方面做了一些准备. 在一般的李群与李代数教科书中都有类似的准备. 各章节的内容及其相互关联简述如下. 第 I 章是分析方面的预备， 内容包括微分方程和复变函数两个部分； 第 II 章为代数方面的预备， 内容有群、环、模、交换环和张量积等； 第 III 章和第 IV 章为几何方面的预备， 内容包括流形、射影空间、解析空间、纤维丛、层、切空间与切丛、向量场、光滑性及向量场的积分等. 这些基础知识都是后面各章节所需要的.第 V 章为李代数的基础， 从导数出发， 内容包括李代数及其线性表示的基本概念、解析空间的切丛与李子丛、李代数的泛包络代数（Poincaré-Birkhoff-Witt 定理）等； 第 VI 章为李群的基本概念和基本性质， 以及齐性空间的基础； 第 VII 章为李群的微分学， 内容包括李群的李代数与不变微分算子、不变微分算子环的基本性质等； 第 VIII 章为李群的积分学， 内容包括指数映射、Baker-Campbell-Hausdorff公式、不变测度等； 第 IX 章为线性李群及其李代数的基础， 包括典型李群及其李代数与李代数的结构初步； 第 X 章为线性李代数的较深入内容， 特别是复半单李代数的结构和分类； 第 XI 章为复环面的初步介绍， 内容包括格、复环面的基本性质， 椭圆曲线， 复环面的自同态等. 除第 I， II 章外各章都有一些习题， 这些习题有助于对正文的理解， 其中带星号的习题有较高的难度. 李群与其他领域的联系广泛而深刻， 这里仅能做一点很初步的介绍. 在几何学方面， 李群本身就是几何学的重要对象； 另一方面， 一般的几何对象都有自同构群， 它反映几何对象的对称性， 而自同构群中经常有李子群， 它可以理解为 “连续的” 对称性（例如圆周就可以连续地旋转）. 如果一个几何对象有李群的可迁作用， 就是所谓 “齐性空间”， 它们在几何领域中经常出现， 且有高度的对称性. 所谓 “局部李群”（见第 VIII 章）也是微分几何的工具. 如上所说， 李群起源于对微分方程的研究， 其中很多结果在微分方程领域有重要的应用， 下面对此将有所反映（见第 IV 章）. 在调和分析中李群也是重要的工具. 在代数方面， 李群本身就是群论的重要对象， 但还不仅如此. 线性群不仅有李群（即实数域或复数域上的线性群）， 而且在一般的域上都有， 它们都是群论的重要且基本的对象， 而李群论的很多方法被用于研究一般域上的群. 20 世纪 60 年代， Chevalley 开创了新的方法， 可以利用李代数构造一般域上的线性群， 即所谓“李型群”. 这些都极大地推动了群论的发展， 尤其是有限单群的分类研究. 此外，李代数的研究对于线性代数的发展也有很大的推动作用. 李群对于动力系统是重要的和基本的工具. 数论与李群有很多不解之缘， 但所涉及的课题都很深， 这里不做具体介绍了.在应用数学甚至工程技术等领域， 李群也有多方面的应用. 李群在现代理论物理中是基本的工具和对象， 在量子化学中也有不平凡的应用. 另一方面， 很多其他的学科领域对李群的研究有影响和贡献. 在李群的学习中， 经常要将分析、代数、几何等多方面的基础知识综合使用（而不是只考虑一个方面）， 对于很多初学者这是需要逐渐适应的， 而且由此有助于理解学科交叉. 第I章 分析方面的一些预备 第1节 常微分方程 设t为实变量， x1， ， xn 为 n 个实或复变量（一个复变量可以看作两个实变量）. 考虑常微分方程组 （1） 我们通常要求各 Fi 满足一些 “好的” 条件， 例如利普希茨条件: 存在实数 L使得对任意 x1， ，xn； t； x′1， ，x′n； t′ 及任意 i 有 （2） 不过（2）一般不可能对变量的所有值都满足， 我们需要对变量的变化范围作一些限制. 记 X 为变量 x1， ，xn； t 取值的空间（X = Rn+1 或 Cn R）， U X 为开集， 如果（2）对任意（x1， ，xn； t）；（x′1， ，x′n； t′）2 U 都满足， 则我们称 L 为方程组（1）在 U 上的一个利普希茨上界. 如果各 Fi 均为可微函数， 则我们总可以适当选择 U 使得（1）在 U 上有利普希茨上界. 设（0， ，0）2 U， 若正实数 r满足 f（x1， ，xn； t）jjxij . r 8i； jtj . rg U， 则称 U 的半径不小于 r， 此时若 L为方程组（1）在 U 上的一个利普希茨上界， 则称 L 的有效半径不小于 r. 引理 1（常微分方程的解的存在**性定理）设为包含（0， ，0）的半径不小于 r 的开集， 方程组（1）在 U 上具有利普希茨上界 L， 则对（x1， ，xn）的任意初始值（a1， ，an）使得 （3） 方程组（1）对有**解， 且解满足 此外， 若 F1， ， Fn 均为 d 阶可微（或解析）函数， 则（1）对充分小的初始值（a1， ， an）及充分小的 t 的解为（a1， ，an； t）的 d 阶可微（或解析）函数. 如果各 Fi 还有若干参变量且为所有变量（包括参变量）的 d+1 阶可微（或解析）函数， 则（1）的解对充分小的 t 是所有变量的 d 阶可微（或解析）函数. 证 记h = nL + 1， 令， 归纳地定义（ 1/h； 1/h）上的函数如下: （4） 我们用归纳法证明 （5） 奠基从略， 若（5）成立， 则由利普希茨条件（2）有 （6） 故由定义（4）有 由（5）可见函数列对所有满足（3）的（a1， ，an）及一致收敛， 故有极限 xi（t）. 对（4）的两边取极限， 可见（x1（t）， ，xn（t））满足方程（1）和初始条件 （8） 此外， 由（5）可见对 有 （9） 从而由条件（3）有 （10） 故 若（1）有满足初始条件（8）的两组解 fx1（t）， ，xn（t）g 和 fy1（t）， ，yn（t）g， 令 （11） 我们来证明对任意 及任意非负整数m有 （12） 对m 用归纳法， 当 m = 0 时由利普希茨条件（2）有 （13） 由于 fx1（t）， ， xn（t）g 为方程（1）的满足初始条件（8）的解， 有 （14） 同理有 （15） 故对于 m > 0， 由归纳法假设可见对任意， 有 （16） 由m的任意性，（12）的右边可以任意小， 故这说明（1）满足初始条件（8）的解在区间上是**的. 若F1， ， Fn均为所有变量的d阶可微函数， 则由（4）及