九章算术

壹．《九章算术》的历史 作为中国传统数学*重要的典籍，《九章算术》一书本身的起伏，似乎就对应着中国古典科技文化的兴衰。 《九章算术》原文采用“题（问题加答案）—术（算法）”的形式，从各种史料来看，其中的很大一部分问题和算法成型于春秋战国[1]，正是中国古代思想文化空前繁荣的时期。到秦朝，秦始皇焚书坑儒，而《九章算术》也“经术散坏”。到西汉，汉文帝刘恒修生养息、兴修水利，于是有北平侯、丞相张苍，汉宣帝刘询劝课农桑、通漕渠、设常平，于是有大司农中丞耿寿昌，此二人等对《九章算术》“因旧文之遗残，各称删补”。按考证，今日流传的《九章算术》原文应成书于公元1世纪下半叶，彼时正是将东汉推向鼎盛的“明章之治”,国家大兴学校，思想政治开明，文化经济繁荣。到曹魏后期，中国北方在战乱后经过几十年的发展生产，科技水平有了长足的进步，在机械、地理、数学等各方面都出现了奠基性的工作，其中就有刘徽为《九章算术》作注，整理解释了《九章算术》中的算法，以“率”、“勾股”、“盈补”等几个基本思想为逻辑基础，对《九章算术》做了系统的阐述。从此通行的《九章算术》都采用“题—术—注”的形式。《九章算术》刘徽注奠定了中国古代数学的理论基础，并进一步确立了中国古代数学“基于用、重算法、机械化”的传统。《九章算术》从此成为“中国古算经之首”，在此后一千年中，没有能在深度、广度和影响力上都超过它的数学著作[2]。可以说，以刘徽注《九章算术》为标志，中国传统数学终于汇源流而成河。 在从隋唐至宋元的中国文明成熟和繁荣时期，《九章算术》既扮演了官方数学高等教材的角色，在形式、风格、思想上也是各家数学新著的范本。唐李淳风在刘徽的基础上再注《九章算术》，并与其他几部数学著作合编为《算经十书》，从此成为历代通行的官方数学教材。而从隋唐到北宋之间的数学著作，形式体例基本沿用《九章算术》，但除了祖冲之父子失传的《缀术》外，无能出其右者。直到北宋贾宪，作《黄帝九章算经细草》，终于对《九章算术》做了进一步的深耕和注释图解（草），特别又对理论部分进行了抽象。到宋朝中国传统文化兴盛，又“尊崇算学，科目渐兴”[3]，中国古代数学发展至巅峰。贾宪之后又有宋元四大家：秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰，分别著有《数书九章》、《测圆海镜》、《杨辉算法》、《四元玉鉴》等，是中国古代数学*高成就的代表。这些著作的总成就在各方面都已超过《九章算术》，但都或多或少的保留了《九章算术》的体例，并在《九章算术》设立的框架下展开讨论。更重要的是，他们都遵循并发展了《九章算术》及刘徽（贾宪）所建立的“实际问题—机械算法—抽象说理”中国数学传统[4]。由《九章算术》所开之河虽见拓宽，却不曾改道。 到明清两代，随着中国社会发展的内驱力渐渐不足，科学技术的发展慢慢停滞。在此期间，贾宪的工作基本佚失，只留在杨辉著作中的引用；宋版《九章算术》及刘徽注近乎失传，所幸在明《永乐大典》中尚有保留，并有残卷流传于藏家之手。但其时中国数学水平一落千丈，抄本多有错误，其中如“盈不足术”之类的优秀算法几乎已无人能解。明末大数学家徐光启在《勾股义》中谈及《九章算术》勾股部分时言道：“旧九章中亦有之……所立诸法无陋不堪读”[5]，想见徐光启本人应未读到《九章算术》真本。在作为帝制时代回光返照的清中叶，中国古典数学有过短暂复兴，先有戴震从《永乐大典》中辑出《九章算术》并做了勘校，使其得以重见天日，后又有李潢、焦循等人为戴本《九章算术》作注、说。虽然此诸公所著中多有疏漏错妄，却为《九章算术》能够流传至今做出了巨大的贡献，可谓功莫大焉。但此时中华古典文化源头生机将尽，内生的技术发展动力已竭，中国传统数学因其“基于用”的本性,在无外部刺激的情况下亦是沉疴难起。所以《九章算术》及刘徽注虽得以传世，却终于少人问津。 中国传统数学从元中叶起便陷于停滞，*早认识到这一点并做出明确反应的可能是徐光启。徐光启对此提出了内外两方：对内，他强调将传统数学“基于用”的传统更进一步，赋予数学更独立的意义，为“不用之用，万用之基”；对外，他翻译引入欧几里得《几何原本》，强调公理系统和逻辑演绎。以今日之眼光，徐光启的思想可谓真知灼见，可惜当时并未得到重视。清代有学者引进西方数学，却欲将其简单地纳入《九章算术》的分类框架之中，可谓削足适履，只得其形而已。自晚清起，中国沉沦逾百年，国之大变，国人受西方之害，又不得不求学于西方，于是其间文化鼎故、科技革新皆来源于外，数学不能例外。徐光启和伽利略（Galilei）几乎同龄，但从此二人之后，中国传统数学河水渐枯，而西方数学渐盛。自伽利略后，西方笛卡尔(Descartes)、费马（Fermat）、莱布尼兹（Leibniz）、牛顿（Newton）等大师不绝，可谓群星璀璨，之后的三百余年中，西方数学早已成独立之洪流，蔚为大观。如此洪流引入中国，固然使渠道畅通，但中国传统数学却似乎从此无用。两千年脉脉长河，仿若死水，偶有微澜，往往是有旧日闪光，恰能作为西方成就的注解而已。 随着民族觉醒，有识之士不甘传统沦落。二十世纪二十到七十年代，有钱宝琮、李俨两位大师发掘整理中国古代数学典籍，乃为中国数学史奠基。其初心是为正本清源，重新确立中国传统数学应有的地位，提升民族科学自信，于是其中对《九章算术》的研究必然是重中之重。特别有钱宝琮先生对戴震、李璜等人的《九章算术》做了严谨科学的校勘，成为之后《九章算术》研究的基础。二十世纪末三十年，中国重归世界强国之列，经济腾飞之余，文化复兴的需求亦高涨。于是在钱、李等大师的基础上，又有吴文俊、李继闵、郭书春等先生对《九章算术》及刘徽注作更进一步的研究，其工作大致可分为三个方向：一是结合新发掘的文献史料对文本做细致的校正考据,以复其旧观；二是阐发其数学成就，溯洄查其源，以得其精神，溯游观其流，以沟通中西；三是以“古证复原”[6]之方法，探索其数学思想，体察其内在逻辑。此三者，一为基础，二为表现，三为内核。经过一代学者的努力，不但《九章算术》中勾股、正负、盈不足等算法的伟大成就再一次为世人所知，中国古代数学之独立地位的重新获得承认，更明确了中国古代数学曾通过印度、中亚而深刻影响西方[7]。所以现代数学并非独立起源于西方，中国古代数学也并非有始无终的内河，而是早有分流，如支流注入现代数学之中。