概率论与数理统计

第1章 随机事件与概率 　　本章先重点介绍概率论的两个*基本的概念:随机事件与概率，然后讨论古典概型、几何概型及其概率计算，并在此基础上介绍条件概率、乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式，*后讨论随机事件的独立性. 　　1.1 随机事件 　　一、随机现象与统计规律性 　　在自然界和人类社会生活中存在着两种现象.一类是在一定条件下必然出现的现象，例如，太阳从东方升起，这类现象称为确定性现象.另一类则是事先无法预知其结果的现象，称为随机现象.例如，在相同条件下抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，但在抛掷之前无法确定其结果. 　　随机现象又分为个别随机现象和大量性随机现象.个别随机现象一般不能在相同的条件下重复出现，例如历史事件;而大量性随机现象可以在相同的条件下重复出现，例如抛硬币.本书中的随机现象一般是指大量性随机现象. 　　随机现象在大量重复试验或观察中所表现出来的固有规律性称为统计规律性.它是随机现象本身所蕴含的内在规律，概率论就是要研究和揭示这种统计规律，并指导社会实践. 　　二、样本空间与随机事件 　　对随机现象的研究必然要联系到对客观事物进行“调查”“观察”或“实验”，以后我们统称之为(随机)试验(experiment，trial)，一般我们用E来表示，并假定这种“试验”可以在相同条件下重复进行，且试验的所有可能结果在试验之前都可以明确知道，但试验之前不能确定将会发生哪一个结果. 　　我们感兴趣的是试验的结果.例如掷一次硬币，我们关心的是出现正面或出现反面，这是所有可能出现的结果.假如我们考察的是掷两次硬币的试验，则所有可能出现的结果有四种:(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).为了研究随机试验，首先需要知道这个试验所有可能出现的结果.这些结果称为样本点(sample point)，一般用表示.样本点的全体构成样本空间(sample space)，用-表示. 　　下面举一些例子. 　　例1.1.1 在研究英文字母使用情形时，样本空间可为有限集-=f空格. 　　例1.1.2 观察一小时内落在地球上某一区域的粒子数，样本空间可为自然数集. 　　例1.1.3 讨论某地区的气温时，样本空间可取为.如果已经知道该地区的温度不会低于T0，也不会高于T1，则可取.当然也可取样本空间为，其中x为*低温度， y为*高温度.此时为R2的一个区域. 　　例1.1.4 考察地震震源时，可以把样本点取为(x;y;z)，其中x表示震源的经度，y表示纬度，z表示深度.此时，样本空间为R3的一个区域. 　　例1.1.5 金融分析师把道 琼斯指数作为研究对象，每日的指数涨跌用一条曲线表示，这就是一个样本点，此时样本空间是函数空间，这是随机过程(stochastic process)的研究对象. 　　从以上例子可以看出，随着问题的研究对象不同，样本空间也就有不同选择.对于一个实际问题或一个随机现象，如何选择用一个恰当的样本空间非常重要.在很多概率问题中，一般没有明确指出样本空间，但是所有的概率问题都是在一个确定的样本空间中讨论的.请读者在后面的讨论中弄清概率问题所在的样本空间. 　　一般地，称试验E的样本空间-的子集为E的随机事件，简称事件.此处关于事件的定义一般对为有限集适用，如果-为无限集，则需要严格的定义;见1.2节.在某次试验中，如果事件A中某一个样本点出现，则称事件A发生.事件常用大写字母A;B;C等表示. 　　考虑两个特殊的随机事件和对任何一次试验，-必然发生，因此称样本空间-为必然事件.而空集不包含任何样本点，故称空集为不可能事件.特别地，由一个样本点构成的单点集，称为基本事件. 　　三、事件的关系和运算 　　事件是样本空间的子集，因而事件间的关系与事件的运算自然按照集合之间的关系和集合运算来处理.下面根据“事件发生”的含义，给出它们在概率论中的含义. 　　设试验E的样本空间为，而是事件的子集.我们先讨论事件的基本运算. 　　(1)事件的和(并).称或为事件A与事件B的和.事件发生当且仅当A与B中至少有一个发生. 　　类似地，称为n个事件A1;A2; ;An的和，为可列个事件A1;A2; 的和. 　　(2)事件的积(交).称为事件A与事件B的积. 　　事件发生当且仅当A与B同时发生.也简记为AB. 　　类似地，称为n个事件A1;A2; ;An的积，为可列个事件A1;A2; 的积. 　　(3)事件的差.称且为事件A与事件B的差.事件A.B发生当且仅当A发生但B不发生. 　　特别地，记，并称之为A的补或者A的对立事件，即A发生当且仅当A不发生. 　　下面我们讨论事件的关系: 　　(1)包含关系.若A.B，则称事件B包含A，即事件A发生必然导致事件B发生. 　　(2)相等关系.若A.B且B.A，即A=B，则称事件A与B相等.显然，相等的两事件必然同时发生或同时不发生. 　　(3)互斥关系.若，则事件A和B是互不相容的或互斥的，即事件A和B不可能同时发生.若A和B是互斥的，则记. 　　类似地，若n个事件A1;A2; ;An是两两互斥的，则记;若可列个事件A1;A2; 是两两互斥的，则记. 　　图1.1.1直观地表现了以上事件的运算与关系. 　　在进行事件运算时，经常要用到下述定律.设A，B，C为事件，则有以下结论. 　　交换律. 　　结合律. 　　德 摩根(DeMorgan)律: 　　图1.1.1 事件的运算与关系 　　例1.1.6 若A;B;C为三个事件. 　　(1)这三个事件都发生可以表示为ABC. 　　(2)这三个事件恰好发生一个可以表示为ABC+ABC+ABC. 　　(3)这三个事件恰好发生两个可以表示为ABC+ABC+ABC. 　　(4)这三个事件中至少发生一个可以表示为或ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC+ABC;还有一种看似复杂的表示:ABC，请读者自己理解. 　　(5)A发生而B与C都不发生可以表示为ABC或. 　　(6)A与B都发生而C不发生可以表示为ABC或. 　　习题1.1 　　1.写出下列各试验的样本空间及指定事件所含的样本点. 　　(1)将一枚硬币抛掷三次， 　　(2)将一颗骰子掷两次，. 　　(1)试述ABC的含义;(2)在何情形下?(3)在何情形下? 　　3.设A1;A2;A3;A4为某试验中的四个事件，试用事件的运算表达如下事件: 　　(1)四个事件中至少有一个发生;(2)恰好发生两个事件; 　　(3)至少发生三个事件;(4)至多发生一个事件. 　　4.掷一颗骰子，记事件 　　试表述下列事件:(1)AB;(2)ABC;(3);(4);(5). 　　5.试表述下列事件的对立事件: 　　(1); 　　(2); 　　(3). 　　6.在区间[0;1]中任取一点x，记试表示如下诸事件: 　　(1)(2) (3). 　　7.试证明以下事件的运算公式. 　　1.2频率与概率 　　概率是什么？人们对概率这个数学术语不一定清楚，却往往有意或无意地使用它.对于问题“明天是否会下雨”，有人会说“我有80%的把握断定明天不会下雨”;对于购买福利彩票的人来说，关心投入一定资金后获得头奖的可能性有多大?这些问题都涉及随机事件的概率. 　　对于一个随机事件(除必然事件和不可能事件外)，它在一次试验中可能发生，也可能不发生，但它发生的可能性大小是客观存在的.我们希望知道某些事件在一次试验中发生的可能性究竟是多大.为此，我们首先引入频率，并用它描述事件发生的频繁程度，进而引出事件在一次试验中发生的可能性大小的度量——概率. 　　一、频率 　　定义1.2.1(频率)在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数称为事件A发生的频数.比值称为事件A发生的频率(frequency)，并记为fn(A). 　　由定义，易见频率具有下述基本性质: 　　(1); 　　(2); 　　(3)若事件A1;A2; ;Ak两两互不相容，则 　　由于事件A发生的频率是它发生的次数与试验次数之比，其大小表示事件A发生的频繁程度，且频率越大，事件A发生就越频繁，即事件A在一次试验中发生的可能性就大;反之亦然.因而，直观的想法是能否用频率来表示事件A在一次试验中发生的可能性的大小.请看“抛硬币”这个试验. 　　例1.2.1 将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做10遍，得到数据如表1.2.1所示，其中nH表示出现正面的频数，fn(H)表示出现正面的频率. 　　从这些数据可以发现:抛硬币次数n较小时，频率fn(H)在0与1之间摆动幅度较大，但随着n的增大，频率fn(H)呈现出稳定性，fn(H)总是在0:5附近摆动，而且逐渐趋近于0:5. 　　大量试验证实，当试验次数n很大时，事件A的频率几乎稳定地趋近于一个常数p.频率的这种性质称为频率的稳定性，它是事件本身所固有的.我们从频率的稳定性出发，给出表征事件发生可能性大小的概率的定义. 　　表1.2.1 抛硬币试验