包邮2022陕西省专升本考试考前押密试卷?高等数学

　　　　绝密★ 陕西省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（一）考试科目高等数学 考生姓名 考生编号 报考单位注 意 事 项1.答题前，考生须按规定将考生姓名、考生编号和报考单位填写到试卷规定的位置上，并在答题卡上填（涂）对应的信息。 2.所有答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，超出各题答题区域的答案无效。在草稿纸、试题上作答无效。 3.考试结束后，将试题和答题卡一并交回。 高等数学考前押密试卷（一）第页（共11页）陕西省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（一）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设f(x)=x1x-1，则（） A.limx→1f(x)不存在 B.点x=1为f(x)的**类间断点 C.点x=1为f(x)的第二类间断点 D.f(x)在点x=1处连续 2.当x→0时，下列无穷小量与x不等价的是（） A. sin(x+sinx) B. ex-2x3-1 C. ln(1+x2)x D. x-x2 3.已知arctanx2是函数f(x)的一个原函数，则下列结论不正确的是（） A. f(x)=2x1+x4 B. x→0时,f(x)和x是同阶无穷小量 C. ∫+∞0f(x)dx=π2 D. ∫f(2x)dx=arctan4x2+C 4.幂级数∑∞n=1(x+1)nn-2n的收敛区间是（） A. (-2,2)B. (-3,1) C. (-1,3)D. (0,4) 5.曲面z=x2+y22在(1,-2,3)处的切平面方程为（） A.2x+2y+z-3=0 B.2x+2y-z+3=0 C.2x-2y+z+3=0 D.2x-2y-z-3=0 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）6.直线l:x-11=y2=z-13与平面π:y+2z-2=0的交点坐标为。 7.函数f(x)=∫x12-1tdt(x>0)的小值是。 8.设方程ey+2xy=e确定了隐函数y=y(x)，则dydxx=0=。 9.微分方程y′-ytanx=secx的通解为。 10.设闭曲线L:x2+y2=4，则对弧长的曲线积分∮Lex2+y2ds的值为。 三、计算题（本题共有10小题，每小题8分，共80分，计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分）11.设函数y=y(x)由参数方程x=t-1t,y=t2+2lnt所确定，求dydx及d2ydx2。 12.求不定积分∫lnx(x-2)2dx。13.求极限limx→0ln(1+x2)-ln(1+sin2x)xsin3x。14.设函数z=f(x2-y2,ey)，且函数f具有二阶连续偏导数，求zy及2zyx。15.求定积分∫12-12|arcsinx|1-x2dx。16.将f(x)=arctanx展开成x的幂级数，并求其收敛域。17.求微分方程(x+1)y′-2y=(x+1)5的通解。 18.求函数u=xyz+x2-2y3+3z2在点（2，3，4）沿从点A（3，4，1）到点B（2，2，2）方向的方向导数和梯度。19.求二重积分Dcosx2dxdy，其中D是由x=2，y=0和y=x所围成的闭区域。20.求曲线积分I=∫L1x2+1+xsin2ydx+(x2cos2y+siny2)dy，其中L是从点A(1,0)沿曲线x2+y24=1(y≥0)到点B(-1,0)的一段弧。四、证明题和应用题（本大题共2小题，每小题10分，共20分，证明题和应用题必须写出必要的证明或计算过程，只写答案的不给分）21.已知抛物线C:y=ax+1(a>0)与y轴交于P点，过点P作抛物线的法线l。记抛物线C、法线l与x轴围成的平面图形为D。 （1）求D的面积S(a)； （2）求D绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积V(a)； （3）当V(a)取得小值时，求a的值。22.已知函数f(x)在［0,1］上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1。证明： （1）存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=1-ξ； （2）存在两个不同的点η，μ∈(0,1)，使得f′(η)f′(μ)=1。 陕西省普通高等教育专升本考试 高等数学考前押密试卷（一）参考答案及解析一、单项选择题 1.【答案】B 【解析】limx→1f(x)=limx→1x1x-1=limx→1［1+(x-1)］1x-1=e，左右极限都存在但在x=1处无意义，故不连续，x=1是f(x)的**类间断点。 2.【答案】A 【解析】A项，limx→0sin(x+sinx)x=limx→0x+sinxx=limx→01+cosx1=2，故sin(x+sinx)与x是同阶但非等价无穷小量。 B项，limx→0ex-2x3-1x=limx→0ex-6x21=1，故ex-2x3-1与x是等价无穷小量。 C项，limx→0ln(1+x2)x2=limx→0x2x2=1，故ln(1+x2)x与x是等价无穷小量。 D项，limx→0x-x2x=limx→0(1-x)=1，故x-x2与x是等价无穷小量。 3.【答案】D 【解析】A项，因为arctanx2是函数f(x)的一个原函数，所以f(x)=(arctanx2)′=2x1+x4。 B项，因为limx→0f(x)x=limx→02x1+x4x=limx→021+x4=2，所以f(x)与x是同阶无穷小量。 C项，∫+∞0f(x)dx=arctanx+∞0=π2。 D项，∫f(2x)dx=12∫f(2x)d2x=12arctan(2x)2+C=12arctan4x2+C，故D项不正确。 4.【答案】B 【解析】因为 limn→∞(x+1)n+1(n-2n)［(n+1)-2n+1］(x+1)n=limn→∞(-2n+n)(x+1)-2n+1+(n+1)=limn→∞x+120)，令f′(x)=0，得x=14。当014时, f′(x)>0，函数单调递增，所以函数f(x)在x=14处取得小值，小值是 ∫1412-1tdt=(2t-2t)141=-12。 8.【答案】-2e 【解析】方程ey+2xy=e两边同时关于x求导得ey·y′+2y+2xy′=0。当x=0时，y=1。代入得dydxx=0=-2e。 9.【答案】y=(x+C)secx 【解析】y=e-∫-tanxdx∫secxe∫-tanxdxdx+C=e-∫1cosxdcosx∫secx·e∫1cosxdcosxdx+C =1cosx∫secx·cosxdx+C=(x+C)secx。 10.【答案】4πe2 【解析】令x=2cosθ，y=2sinθ(0≤θ≤2π)，于是 ∮Lex2+y2ds=∫2π0e2·(-2sinθ)2+(2cosθ)2dθ=4πe2。 三、计算题 11.【解析】dydx=dydtdxdt=2t+2t1+1t2=2t，d2ydx2=ddxdydx=ddtdydxdxdt=2t2t2+1。 12.【解析】∫lnx(x-2)2dx=-∫lnxd1x-2=-lnxx-2+∫1x-2dlnx =12-xlnx+∫dxx(x-2)=lnx2-x+12∫1x-2-1xdx =lnx2-x+12lnx-2x+C。 13.【解析】limx→0ln(1+x2)-ln(1+sin2x)xsin3x=limx→0ln1+x21+sin2xx4 =limx→0ln1+x2-sin2x1+sin2xx4=limx→0x2-sin2x1+sin2xx4=limx→0x2-sin2xx4(1+sin2x) =limx→0x2-sin2xx4=limx→02x-sin2x4x3=limx→02-2cos2x12x2 =limx→02×2×x212x2=13。 14.【解析】zy=f′1·(-2y)+f′2·ey=-2yf′1+eyf′2， 2zyx=-2yf″11·2x+eyf″21·2x=-4xyf″11+2xeyf″21。 15.【解析】∫12-12|arcsinx|1-x2dx=2∫120|arcsinx|1-x2dx =2∫120arcsinx1-x2dx=2∫120arcsinxdarcsinx =(arcsinx)2120=π236。 16.【解析】f′(x)=11+x2=∑∞n=0(-1)nx2n(-1　　　　故f(x)=∫x0∑∞n=0(-1)nt2ndt=∑∞n=0(-1)nx2n+12n+1。 又因为当x=±1时，f(x)均为交错级数，由莱布尼茨判别法可知，级数收敛。所以 arctanx=∑∞n=0(-1)nx2n+12n+1(-1≤x≤1)。 17.【解析】原微分方程可转化为y′-2x+1y=(x+1)4，故其通解为 y=e∫2x+1dx∫(x+1)4·e-∫2x+1dxdx+C=(x+1)2∫(x+1)4·1(x+1)2dx+C =(x+1)213(x+1)3+C。 18.【解析】 由已知得， ux（2，3，4）=（yz+2x）（2，3，4）=16，uy（2，3，4）=（xz-6y2）（2，3，4）=-46， uz（2，3，4）=（xy+6z）（2，3，4）=30。 向量AB=（-1，-2，1）的方向余弦为cosα=- 16，cosβ=- 26，cosγ=16。 （1）于是所求方向导数为uxcosα+ uycosβ+ uzcosγ（2，3，4）=1066。 （2）梯度为gradu（2，3，4）=uxi+ uyj+ uzk（2，3，4）=（16，-46，30）。 19.【解析】如图所示，积分区域D可表示为0≤x≤2，0≤y≤x，故 Dcosx2dxdy=∫20dx∫x0cosx2dy=∫20xcosx2dx=12∫20cosx2dx2=12sinx220=12sin4。 20.【解析】令P(x,y)=1x2+1+xsin2y，Q(x,y)=x2cos2y+siny2，则 Qx=2xcos2y，Py=2xcos2y， 于是Qx=Py，从而积分与路径无关，故 I=∫-111x2+1dx=arctanx-11=-π2。 四、证明题和应用题 21.【解析】（1）y=ax+1(a>0)，令x=0得y=1，所以P点坐标为(0,1)。因为y′=a2ax+1，所以y′(0)=a2，即点P处的切线斜率为a2，则该点处的法线斜率为-2a，因此法线l的方程为y=-2ax+1，则法线l与x轴的交点坐标为a2,0。抛物线C、法线l与x轴围成的平面图形D，如图中阴影部分所示，则 S(a)=∫0-1aax+1dx+12×a2×1=23a+a4。 （2）V(a)=π∫0-1a(ax+1)2dx+π∫a20-2ax+12dx=π2a+aπ6。 （3）方法一：V′(a)=-π2a2+π6=a2-36a2π，令V′(a)=0解得a=3或a=-3（舍）。当a∈(0,3)时，V′(a)0，则V(a)单调递增。所以当a=3时，旋转体体积取得小值。 方法二：因为a>0，则由均值不等式可得 V(a)=π2a+aπ6≥2π2a×aπ6=33π。 当且仅当π2a=aπ6时，即a=3时，均值不等式可以取到等号，所以当a=3时，旋转体体积取得小值。 22.【证明】（1）设F(x)=f(x)+x-1，则F(x)在［0,1］连续，在(0,1)可导。因为F(0)=-1,F(1)=1,则F(0)F(1)<0，根据零点定理可得，存在ξ∈(0,1)，使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ。 （2）根据**问的结论，将［0,1］分成［0,ξ］，［ξ,1］。f(x)在［0,ξ］上连续，在(0,ξ)上可导，根据拉格朗日中值定理，存在μ∈(0,ξ)，使得f′(μ)=f(ξ)-f(0)ξ-0=1-ξξ。同理f（x）在［ξ,1］上连续，在(ξ,1)上可导，根据拉格朗日中值定理，存在η∈(ξ,1)，使得 f′(η)=f(1)-f(ξ)1-ξ=ξ1-ξ。 由此可得，存在两个不同的点η，μ∈(0,1)，使得f′(η)f′(μ)=1。