高等数学竞赛题解析教程(2022)

专题1 极限与连续 1.1 基本概念与内容提要 1.1.1 一元函数基本概念 1.1.2 数列的极限 1.1.3 函数的极限 1.1.4 证明数列或函数极限存在的方法 1.1.5 无穷小量 1.1.6 无穷大量 1.1.7 求数列或函数的极限的方法 1.1.8 函数的连续性 1.2 竞赛题与精选题解析 1.2.1 求函数的表达式(例1.1-1.3) 1.2.2 利用极限的性质与四则运算求极限(例1.4-1.14) 1.2.3 利用夹逼准则与单调有界准则求极限(例1.15-1.19) 1.2.4 利用重要极限与等价无穷小替换求极限(例1.20-1.25) 1.2.5 无穷小比较与无穷大比较(例1.26-1.27) 1.2.6 连续性与间断点(例1.28-1.30) 1.2.7 利用介值定理的证明题(例1.31-1.35) 练习题一 专题2 一元函数微分学 2.1 基本概念与内容提要 2.1.1 导数的定义 2.1.2 左、右导数的定义 2.1.3 微分概念 2.1.4 基本初等函数的导数公式 2.1.5 求导法则 2.1.6 高阶导数 2.1.7 微分中值定理 2.1.8 泰勒公式与马克劳林公式 2.1.9 洛必达法则 2.1.10 导数在几何上的应用 2.2 竞赛题与精选题解析 2.2.1 利用导数的定义解题(例2.1-2.6) 2.2.2 利用求导法则解题(例2.7-2.9) 2.2.3 求高阶导数(例2.10-2.19) 2.2.4 与微分中值定理有关的证明题(例2.20-2.41) 2.2.5 马克劳林公式与泰勒公式的应用(例2.42-2.60) 2.2.6 利用洛必达法则求极限(例2.6l-2.68) 2.2.7 与导数有关的不等式的证明(例2.69-2.79) 2.2.8 导数的应用(例2.80-2.91) 练习题二 专题3 一元函数积分学 3.1 基本概念与内容提要 3.1.1 不定积分基本概念 3.1.2 基本积分公式 3.1.3 不定积分的计算 3.1.4 定积分基本概念 3.1.5 定积分中值定理 3.1.6 变限的定积分 3.1.7 定积分的计算 3.1.8 奇偶函数与周期函数定积分的性质 3.1.9 定积分在几何与物理上的应用 3.1.10 反常积分 3.2 竞赛题与精选题解析 3.2.1 求不定积分(例3.1-3.16) 3.2.2 利用定积分的定义与性质求极限(例3.17-3.23) 3.2.3 应用积分中值定理解题(例3.24-3.25) 3.2.4 变限的定积分的应用(例3.26-3.34) 3.2.5 定积分的计算(例3.35-3.54) 3.2.6 积分不等式的证明(例3.55-3.75) 3.2.7 积分等式的证明(例3.76-3.80) 3.2.8 定积分的应用(例3.81-3.91) 3.2.9 反常积分(例3.92-3.98) 练习题三 专题4 多元函数微分学 4.1 基本概念与内容提要 4.1.1 二元函数的极限与连续性 4.1.2 偏导数与全微分 4.1.3 多元复合函数与隐函数的偏导数 4.1.4 方向导数 4.1.5 高阶偏导数 4.1.6 二元函数的极值 4.1.7 条件极值 4.1.8 多元函数的*值 4.2 竞赛题与精选题解析 4.2.1 求二元函数的极限(例4.1-4.2) 4.2.2 二元函数的连续性、可偏导性与可微性(例4.3-4.5) 4.2.3 求多元复合函数与隐函数的偏导数(例4.6-4.16) 4.2.4 方向导数(例4.17-4.19) 4.2.5 求高阶偏导数(例4.20-4.27) 4.2.6 求二元函数的极值(例4.28-4.31) 4.2.7 求条件极值(例4.32-4.35) 4.2.8 求多元函数在空间区域上的*值(例4.36-4.38) 练习题四 专题5 二重积分与三重积分 5.1 基本概念与内容提要 5.1.1 二重积分基本概念 5.1.2 二重积分的计算 5.1.3 交换二次积分的次序 5.1.4 三重积分基本概念 5.1.5 三重积分的计算 5.1.6 重积分的应用 5.1.7 反常重积分 5.2 竞赛题与精选题解析 5.2.1 二重积分与二次积分的计算(例5.1-5.14) 5.2.2 交换二次积分的次序(例5.15-5.19) 5.2.3 三重积分的计算(例5.20-5.25) 5.2.4 与重积分有关的不等式的证明(例5.26-5.31) 5.2.5 重积分的应用题(例5.32-5.35) 5.2.6 反常重积分的计算(例5.36-5.38) 练习题五 专题6 曲线积分与曲面积分 6.1 基本概念与内容提要 6.1.1 曲线积分基本概念与计算 6.1.2 格林公式 6.1.3 曲面积分基本概念与计算 6.1.4 斯托克斯公式 6.1.5 高斯公式 6.1.6 梯度、散度与旋度 6.2 竞赛题与精选题解析 6.2.1 曲线积分的计算(例6.1-6.4) 6.2.2 应用格林公式解题(例6.5-6.16) 6.2.3 曲面积分的计算(例6.17-6.22) 6.2.4 应用斯托克斯公式解题(例6.23-6.24) 6.2.5 应用高斯公式解题(例6.25-6.35) 6.2.6 线面积分的应用题(例6.36-6.39) 练习题六 专题7 空间解析几何 7.1 基本概念与内容提要 7.1.1 向量的基本概念与向量的运算 7.1.2 空间的平面 7.1.3 空间的直线 7.1.4 空间的