抛物线方程在计算电磁学中的应用

第1章　绪论 目标和环境的电磁特性研究受到越来越多的关注，并表现出长足的进步。计算电磁学是一门以电磁场理论为基础，借助高性能计算平台，用于获得及提取复杂目标和环境的电磁特性的交叉学科。高性能计算技术已成为一项衡量国家科技发展水平的重要指标。当前，计算电磁学面临着巨大的挑战，开发快速、稳定、有效的数值计算方法成为国内外学者与工程师的迫切需求。 电磁波的仿真计算方法主要分为高频近似方法和低频精确方法。高频近似方法，如几何光学(geometrical optics，GO)法、物理光学(physical optics，PO)法、弹跳射线(shooting and bouncing ray，SBR)法等，其具有计算速度快、内存需求小的特点，但是其计算精度低，不能准确计算电磁场分布。低频精确方法，如有限元方法(finite element method，FEM)、时域有限差分(finite-difference time-domain，FDTD)方法、矩量(method of moments，MoM)法、时域谱元(spectral element time-domain，SETD)法等，其计算精度高，但是，随着目标电尺寸的增加，待求方程的矩阵维数也会增加，从而使所需的计算资源倍增，求解效率下降。20世纪60年代以来，高频近似方法等被用于分析电大尺寸目标散射特性[1，2]，但是，对于复杂目标，高频近似方法不能考虑目标表面电磁流之间的互作用，因此其计算精度不理想。虽然微分类方法得到的矩阵是稀疏阵，但其需要对整个空间进行离散分析，吸收边界条件的引入导致微分类方法的未知量大大增加，不利于分析三维电大尺寸复杂目标的散射特性[3]。积分类方法能够精确地模拟电磁波传播的索末菲辐射条件，不产生物理建模方面的误差，因此被广泛运用于分析微带电路、微波器件、天线和电磁散射问题。近年来伴随着计算机技术的快速发展和电磁场数值方法的成熟，各种基于积分方程的快速算法层出不穷，如快速傅里叶变换(fast Fourier transform，FFT)技术[4]、稀疏矩阵/规则网格(sparse-matrix/canonical grid，SMCG)方法[5]、自适应积分方法(adaptive integral method，AIM)[6]、多层快速多极子方法(mulit-level fast multipole method，MLFMM)[7，8]、低秩矩阵压缩类的快速算法[9]、H2矩阵[10]等，这些快速算法的出现大大降低了积分方程方法的计算复杂度和内存需求，因此电大尺寸目标的电磁特性仿真再一次引起了人们的注意。其中，Jiang等[8]提出的MLFMM是其中的杰出代表。在此研究基础上，Pan等[11]又开发出了基于MLFMM的并行技术，以及Cui等[12]提出了射线多极子、快速远场近似等加速技术。Ergül等[13]在基于MLFMM的并行技术上做了很多工作。聂在平教授领导的课题组、盛新庆教授领导的课题组、崔铁军教授领导的课题组在MLFMM的研究方面也取得了很多的成果[14-16]。作者所在课题组在预条件加速电大尺寸目标电磁散射分析中也做了大量的工作，并取得了良好的加速效果[17，18]。 抛物线方程(parabolic equation，PE)是波动方程的一种近似形式，其应用领域非常广泛，不仅适用于电磁波，而且适用于水下声波、光波等传播的研究。目前有许多研究无线电磁波传播特性的模型，大致可分为经验模型、确定性模型和半经验模型三类。经验模型建立在信道测试实验的基础上，对测量数据进行后续的统计分析。其优点是能够简单、直观地给出预测路径损耗的数学表达式，但是进行现场测试时受到测试范围、人力、物力的限制，不能对隧道等大尺度区域进行密集、细致的测量。此类模型适用于对计算精度要求不高的场合[19]；确定性模型是根据麦克斯韦方程组推导得出的电磁波传播理论计算公式，结合通信系统的初始场及环境具体边界条件，可以精确地描述电磁波与外界环境的各种交互[20，21]；半经验模型先用确定性方法导出路径损耗的数学公式，再根据实验测量结果修正模型参数。但由于分析过程中进行了统计运算，其整体模型精度不高，常用于城市小区以及郊区环境下的电磁波传播特性研究[22]。其中，确定性模型是应用*为广泛的模型。抛物线方程方法在预测电磁波传播特性方面具有独特的优势，它介于低频精确方法与高频近似方法之间，为它们搭起了桥梁。抛物线方程模拟了能量沿着抛物线轴向传播的过程，是由波动方程因式分解而得，可将一个三维电磁问题拆分为若干个沿轴向上的二维问题进行求解，与全波方法相比，采用抛物线方程方法具有更高的分析效率。它能够准确地获得抛物线近轴区域内的电磁场分布。 20世纪40年代，Leontovich等[23]*次提出了抛物线近似方法，并利用该方法分析地球周围电磁波的绕射问题，他们使用抛物线近似方法获得著名的Watson&van der Pol&Bremmer结果，并将其用于分析大气层折射问题。自此，研究工作者开始着力于数值求解这一方程。Hardin等[24]使用了有效的分布傅里叶变换方法对抛物线方程进行数值求解，并成功地将其用于分析水下声波传播。另外，Claerbout[25]使用了有限差分方法离散抛物线方程，并成功地应用到地球物理学的研究中。抛物线方程方法已经被广泛地用于分析水下声波的传播、光的衍射绕射和地震波的传播等应用中，甚至被应用于分析更复杂的问题，其中，Levy教授课题组[26，27]使用了传统的Crank-Nicolson差分格式离散抛物线方程，用于分析电大尺寸目标电磁散射特性，并取得了极高的计算效率。Janaswamy教授课题组[28，29]发明了高效的交替方向隐格式算法来求解抛物线方程，并用于分析隧道中的电磁波传播问题。在此基础上，研究工作者又提出了一些改进算法用于提高抛物线方程方法的计算精度及效率[30-33]。近几年，抛物线方程方法也被推广至求解电大尺寸目标的电磁散射问题中，它在精确数值方法与高频近似方法之间搭起了桥梁。国内方面，中山大学、安徽大学、中国电磁波传播研究所、西南交通大学、国防科技大学等单位也做过相关工作。国外方面，多个机构已开发出了基于数值方法的一系列商业仿真软件，如美国ANSYS公司的HFSS、德国CST公司的CST EM STUDIO、美国EMSS公司的FEKO、美国海军EREPS、AREPS以及APM现已提供给有关国家使用，AWE公司的WinProp等部分功能都是使用了抛物线方程方法。 抛物线方程本身就是对能量沿着抛物线轴向方向上传播过程的模拟，它是波动方程因式分解后的一种近似形式，即对波动方程进行近似处理。抛物线方程方法只限于电磁波能量沿着抛物线的轴向传播的电磁特性，通过对近轴方向上建立的抛物线方程进行差分离散处理，从而来求解抛物线方程。抛物线方程方法的主要思想是将需要解决的三维问题降为一系列的二维问题来处理，因此，*终需要解决的是简化后的一系列二维问题，这样的处理方法可以大大改善计算效率。本书主要从快速求解技术、空间混合技术、宽角抛物线方程以及时域抛物线方程等方面，进行电磁波传播以及目标散射特性的建模仿真分析。 参考文献 第2章　抛物线方程方法基本概况 2.1　引言 计算机运算能力的提高以及电子通信技术的发展，为电磁仿真技术奠定了坚实的基础，使得其在军用和民用领域得到了广泛的应用[1]。常用的电磁场低频精确方法有FDTD、MoM和FEM等，它们具有很高的计算精度，但是计算未知量的增加，使得对计算资源的需求也随着增加，从而降低了计算效率[2-4]。高频近似方法对计算机配置要求较低，但其计算精度也会变差。抛物线方程可以利用较少的计算资源获得较为精确的计算结果[2-6]。 2.2　标准抛物线方程 2.2.1　二维标量抛物线方程 假设在均匀介质中传播的电磁波，变化的时谐场为，所有的场在直角坐标系下都可以分解为垂直极化分量和水平极化分量，则波动方程可以表示如下： (2.2.1) 式中，为电磁场量。当入射波是水平极化时，取；当入射波是垂直极化时，取。为波数，为电磁波的折射系数，真空中本书取1，假定在所选取的计算区域内保持不变。 若要成功地计算区域内的场值，还必须选取边界条件来截断此计算区域。抛物线方程方法规定，电磁波能量的传播只能沿一定方向并在很小的角度范围内，此方向称为抛物线方程的近轴方向。一般定义x轴正方向为近轴方向，如图2.2.1所示[6，7]。 定义波函数为 (2.2.2)