统计概念的历史与教学研究

第1章 引论 1.1 研究背景 1.1.1 统计教学的重要性 21世纪初，我国启动了新一轮中小学数学课程改革，其中一个明显的变化是大幅度增加了概率统计的教学内容，使其成为继代数和几何之后的一个主干内容。 统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据（教育部，2003）。目前，统计素养开始受到数学教育和统计教育学术界的广泛关注。从20世纪50年代开始，国际统计学会（ISI）就决定在世界各国的各级学校努力推进并开展统计学（包括统计与概率）的教学。目前，这个领域已经成立了自己的专业组织“国际统计学教育协会”（IASE）、专业期刊《统计学教学》（Teaching Statistics）和每四年一届的统计学教学国际大会（ICOTS）（李俊，2003）。2002年在南非开普敦举行的第六届统计学教学国际大会的主题是“形成一个具有统计素养（statistical literacy）的社会”。国际统计教育学会的原主席（2001—2003年）、西班牙的卡门 巴泰丽罗（Carmen Batanero）女士在会议论文集的前言中强调，一个人的统计素养有助于他认识这个世界，在了解多方面信息的基础上做出决策，能够成功地完成各种需要经过处理数据才能完成的任务，成为一个有独立见解的消费者（转引自李俊，2002）。 随着对统计教学的不断探索和实践，人们逐渐认识到对于统计学习而言，重要的不是画统计图、求平均数等技能的学习，而是发展学生的数据分析观念（史宁中等，2008）。 我国义务教育数学课程标准（2011年版）指出，在数学教学中，应当注重发展学生的数据分析观念，即了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵的信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。 全美数学教师理事会（2004）制定的《美国学校数学教育的原则和标准》提出增加数据分析的课程内容，并要求所有学生能够：明确提出用数据表达的问题并通过收集、组织以及展示相关数据来回答这些问题；选择和运用适当的统计方法分析数据；策划和评价根据数据所进行的推理和预测。 美国《统计教育评价与教学指导纲要》（GAISE）指出：统计教学的终极目标是统计素养。统计教学分为4个过程：提出问题、收集数据、分析数据和解释结果（Franklin et al.，2007）。 由于统计学教学进入中小学教学的时间还很短，有关的课程、学习心理、教学和评价等方面的研究以及教师培训、教学材料的开发等领域都还留有许多空白（李俊，2003）。国外的研究相对丰富，并且形成了一些统计思维的发展框架（Mooney，2002）。我国数学课程标准已经明确将数据分析观念作为统计课程的核心。数据分析观念的内涵，主要包括通过数据收集和分析提取信息、通过数据体会随机性、利用数据解决问题。前两者更加指向统计过程和统计方法自身，后者则更加指向运用统计解决问题（张丹，2010）。对数据分析的前提是理解统计概念，因此开展统计概念的教学研究具有非常重要的意义。 1.1.2 数学教学中运用数学史的必要性 数学史对数学教育的价值在19世纪已被一些西方数学家认识。19世纪末至20世纪上叶，欧美众多数学家、数学史家和数学教育家强调数学史对数学教育的重要价值，大力提倡在数学教学中运用数学史。国外很多学者支持数学史融入数学教学的观点，他们提出了各种不同的理由。1991年，英国数学教育杂志《数学学习》（For the Learning of Mathematics）出版了一期《数学教学中运用数学史专刊》（Special Issue on History in Mathematics Education），福韦尔（Fauvel，1991）在文中总结了数学教学中运用数学史的十五种理由。1998年法国马赛组织过一次“数学史与数学教育”的专题会议（ICMI-Study Conference），总结回顾了HPM成立以来的研究成果，并于2000年出版了ICMI研究的综合性报告《数学教育中的数学史》（History in Mathematics Education—The ICMI Study）。其中，察内基斯和阿卡维（Tzanakis and Arcavi，2000）从数学的学习、数学和数学活动的本质、教师的教学背景、数学的情感和数学是一种人类文化等5个方面总结了数学史对数学教育的作用。这是目前这个主题*广泛、*完整的论述。 我国学术界直到20世纪初才开始关注HPM领域。汪晓勤和张小明（2006）提出HPM研究的主要方向包括数学教育取向的数学史研究、基于数学史的数学教学设计、关于历史发生原理的实证研究、数学史融入数学教学的实验研究等。2005年5月，在全国数学史学会、西北大学联合主办的“**届全国数学史与数学教育会议”上，学者普遍认为，需要对国际上所取得的经验进行交流和借鉴，数学史家应该走到中国数学教育改革的前台，做出一套有效可行的数学史与数学教学整合的研究方案。李文林（2011a，2011b）认为数学史研究具有三重目的：一是为历史而历史，即恢复历史的本来面目；二是为数学而历史，即古为今用，洋为中用，为现实的数学研究的自主创新服务；三是为教育而历史，即将数学史应用于数学教育，发挥数学史在培养现代化人才方面的教育功能。专门从事前两个方面研究与工作的人毕竟是少数，而数学教育中数学史的应用则需要一个庞大的队伍，这是一个影响广远的事业（冯振举和杨宝珊，2005）。但从以往的四届全国数学史与数学教育学术研讨会（2005—2011年）来看，尽管HPM实践开发已成为人们的共识，但迄今仍缺乏科学、有效的研究方法，有价值的研究成果并不多见，HPM作为一个研究领域的学术地位还有待提高。 已有研究发现，国内外数学史融入数学教学的研究不仅为数学教师的教学提供了大量可供参考和借鉴的资料，而且有力地促进了HPM的发展。近年来，随着HPM研究的深入，大量文献已经从当初对数学史运用于数学教学必要性的探讨逐步转向实践研究，越来越多的研究开始关注数学史在课堂上的实际运用。HPM成立以来，特别是20世纪80年代，国内外数学教育家、数学教师对于数学史在数学教学中的具体运用进行了积极探索，提出了数学史融入数学教学的若干方法，为数学史融入数学教学创造了必要条件（Tzanakis and Arcavi，2000；Fried，2001；Jankvist，2009a；Jankvist，2009b；汪晓勤，2012）。 1.1.3 数学史融入统计教学的可行性 虽然HPM在数学的很多领域产生了广泛影响，但如何把数学史融入统计概念教学却很少有人进行探讨。究其原因，可能是由于统计历史研究很困难。一方面是大多数数学的历史几乎没有关注到统计的历史，其原因主要是统计的出现主要来源于测地学、天文学、航海、冶金、医学、生物学和社会科学。另一方面是大多数统计学的历史研究开始于1660年，很多学者认为这是统计与概率的开端（Hacking，1975；Kendall，1960），但真正的历史研究却集中于19世纪。不过，目前有学者已经对统计的历史发展有了进一步的研究，为融入统计教学奠定了基础（Hacking，1975；Hald，1990；Stigler，1986；陈希孺，2002）。 对历史现象的分析，不是描述概念的整个历史发展过程，而是尽量寻找一些对课堂教学具有启示意义的历史材料，根据历史现象来设计教学活动，并运用于教学实践。深入开展数学史知识与统计概念教学的具体结合，不仅可以丰富HPM理论，还能对中小学的统计教学实践提供具体指导。 综上，统计学的历史发展为数学史融入统计教学提供了可行性。 1.2 研究问题 本书研究是一项数学史融入统计概念教学的实验研究。此时，教学内容已不再是单纯的统计内容，而是包含数学史成分的结合体。研究问题包含两个方面的内容。 一是挖掘统计概念的历史现象。著名数学史学家约翰 福韦尔（John Fauvel）和范 曼纳（van Mannen）曾指出：“对于数学史引入数学教学的研究，乃是数学教学研究的重要组成部分”（转引自Bagni，2000a）。M.克莱因说：“历史是教学的指南”（莫里斯 克莱因，2002）。根据历史发生原理，了解所教主题的历史是教师教学需要的准备工作。因此，深入挖掘统计概念的历史现象是本书研究的前提。 二是基于数学史深入开展统计概念教学的实证研究。兰珀特（Lampert，2001）在亲身经历课堂教学的基础上，把教师、学生、教学内容三者之间的关系隐喻为一个三角形，三个因素彼此之间相互影响，刻画了课堂教学的复杂性（图1-1）。兰珀特认为，在课堂教学中，教师的教学就是在学生、教学内容以及学生与教学内容的联结之间产生作用，学生则在教师引导的课堂教学情境中学习。 HPM教学的实施使学生、数学和教师之间形成了“互动”，为此，我们提出了以HPM教学为中心，构建教师、学生和数学内容三位一体的课堂教学模型，即基于数学史的教学三角形（图1-2）。本书研究以平均数、中位数和众数概念为 图1-1 教学三角形 内容载体，基于数学史的教学三角形模型，旨在探讨课堂教学活动、学生学习认知和教师专业发展三个方面的问题。 图1-2 基于数学史的教学三角形 （1）如何利用数学史设计统计概念教学需要的数学活动？ 数学课堂教学是本书研究的基础。“数学教学是数学活动的教学”，因此数学史融入统计概念教学主要通过数学活动来实施。该问题主要探讨如何基于数学史设计数学活动、学生如何看待数学史融入课堂教学、数学活动有哪些具体特征。 （2）数学史融入统计概念教学，是否促进了学生的学习认知？ 数学史融入数学教学的有效性促进了学生的学习认知。该问题主要探讨数学史融入统计概念是否加强了学生对统计概念的理解、主要表现在哪些学习内容上、促进学生学习认知的原因是什么。 （3）数学史融入统计概念教学，对教师的专业发展产生了怎样的影响？ 数学史融入数学教学，还有利于教师的专业发展。本书研究从教师专业发展的过程和教师知识的使用两个方面进行探讨：一是数学史介入教学后，教师的专业发展分为哪几个阶段，有什么异同；二是教师教学需要的统计知识的使用情况如何，存在哪些方面的缺失。 事实上，上述教学问题中的任何一个部分和数学史结合起来，都可以成为一个十分重要并具有足够深度和广度的专项研究。由于这三个概念在初中教学中课时有限，可能导致在某些方面无法进行较为深入和细致的研究，因此决定把这三个方面的内容放在一起研究，这样可以提供一个较为完整和系统的关于数学史融入统计概念教学的全貌，从中可以考察：数学史介入教学后，课堂中到底发生了什么？对学生和教师究竟产生什么影响？从中如何分辨出三者之间的相互关系？这些正是本书研究的主要目的。 1.3 研究目的和意义 本书选取统计学中的平均数、中位数和众数概念，在八年级进行了数学史融入统计概念教学的实验研究。通过研究，一方面可以丰富HPM理论，另一方面还能对中小学的统计教学实践提供具体指导。 1）挖掘统计概念的历史。陈希孺（2002）指出，如果我们从理论的角度也走一点极端，则可以说，一部数理统计学的历史就是从纵横两个方向对算术平均数进行不断深入研究的历史。由此可见，算术平均数在统计概念中的重要性。在统计教学中，平均数、中位数和众数这三个概念是紧密联系的。本书研究通过对历史现象的深入挖掘，梳理了平均数、中位数和众数概念的历史现象，为数学史融入统计概念教学奠定了厚实的基础。 2）开发了统计概念教学案例。本书研究根据统计