线性代数(第二版)

**章行列式 行列式是线性代数的一个基本工具，产生于求解线性方程组，在许多的领域中都有广泛的应用，在本课程的后续学习中也很重要.本章介绍行列式的定义、性质、计算方法以及在求解线性方程组中的应用. **节全排列及其逆序数 把n个不同元素按某种次序排成一列，称为n个元素的全排列.n个元素的全排列的总个数，一般用Pn表示，且Pn=n!. 对于n个不同元素，先规定各元素间有一个标准次序（如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它们构成了一个逆序. 定义1.1一个排列中所有逆序的总和，称为该排列的逆序数.排列i1i2 in的逆序数记作τ(i1i2 in). 例如，对排列32514而言，4与5就构成一个逆序，1与3，2，5也分别构成一个逆序，2与3也构成一个逆序，所以，τ(32514)=5. 按标准次序排成的全排列称为标准排列（自然排列），其逆序数为0. 逆序数的计算法：不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设i1i2 in为这n个自然数的一个排列，自右至左，先计算排在*后一位数字in的逆序数，它等于排在in前面且比in大的数字的个数，再类似计算in-1， ，i2的逆序数，然后把所有数字的逆序数加起来，就是该排列的逆序数. 逆序数的计算方法有多种，请读者自行总结. 例1求下列全排列的逆序数. （1）134782695；（2） 135 (2n-1)246 (2n). 解（1）τ(134782695)=4+0+2+4+0+0+0+0=10； （2） 从排列135 (2n-1)246 (2n)看，前n个数135 (2n-1)之间没有逆序，后n个数246 (2n)之间也没有逆序，只有前n个数与后n个数之间才构成逆序. 2n*大且排在*后，逆序数为0； 2n-2的前面有2n-1比它大，故逆序数为1； 2n-4的前面有2n-1，2n-3比它大，故逆序数为2； 2前面有n-1个数比它大，故逆序数为n-1，因此有. 读者也可选择按数字从小到大分别求逆序的方法求逆序数，如排列134782695中，1 *小，排1前面的数为0个，然后划掉1，则2变*小，排2前面的数为4个(1已划去)，然后划掉2，则3变*小，排3前面的数为0个，以此类推，排4前面的数为0个，排5前面的数为4个，排6前面的数为2个，排7前面的数为0个，排8前面的数为0个，排9前面的数为0个，则τ（134782695）=0+4+0+0+4+2+0+0+0=10. 定义1.2逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列. 在排列中，将任意两个元素的位置对调，其余元素位置保持不动，这样得出新排列的方法称为对换.若是将相邻位置的两个元素对换，叫作相邻对换. 定理1.1一个排列中的任意两个元素位置对换，排列改变奇偶性. 证先证相邻对换的情形.设排列为a1a2 amabb1b2 bn，对换a与b，变为a1a2 ambab1b2 bn，显然排列中除a，b两数的次序改变外，其他任意两数之间及任意一个数与a或b之间的次序都没有变.当a>b时，经对换后，逆序数减少1；当a　　再证一般对换的情形. 设排列为a1a2 amab1b2 bnbc1c2 cp，对换a与b，变为a1a2 ambb1b2 bnac1c2 cp.它等同于先将原排列作n次相邻对换变成a1a2 amb1b2 bnabc1c2 cp，再作n+1次相邻对换变成a1a2 ambb1b2 bnac1c2 cp.因此总共经过2n+1次相邻对换后，排列a1a2 amab1b2 bnbc1c2 cp变为a1a2 ambb1b2 bnac1c2 cp，所以这两个排列的奇偶性不同. 推论1.1奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 推论1.2在n个元素的全排列中，奇排列与偶排列的个数相等. 第二节n阶行列式的定义 一、 二元线性方程组与二阶行列式 对于二元线性方程组 （1.1） 使用加减消元法，当a11a22-a12a21≠0时，方程组（1.1）有解为. （1.2） 式（1.2）中的分子、分母都是四个数分两对相乘再相减而得，其中分母a11a22-a12a21是由方程组（1.1）的四个系数确定的.为方便记忆，把这四个数按它们在方程组（1.1）中的位置，排成两行两列（横排称行、竖排称列）的数表 （1.3） 表达式a11a22-a12a21称为数表（1.3）所确定的二阶行列式，记作， 即. 数aij(i=1，2;j=1，2)称为行列式的元素，元素aij的**个下标i称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标j称为列标，表明该元素位于第j列. 二阶行列式共有2!项，为所有不同行不同列的元素乘积的代数和. 上述二阶行列式的定义可用对角线法则记忆.如图1.1所示，即实线连接的两个元素（主对角线）的图1.1 乘积减去虚线连接的两个元素（次对角线）的乘积. 例1 求行列式. 解. 二、 三阶行列式 对于三元线性方程组 （1.4） 使用加减消元法，为便于记忆其求解公式，我们定义三阶行列式. 定义1.3设有9个数排成三行三列的数表 3(1.5) 用记号表示代数和. 上式称为数表（1.5）所确定的三阶行列式，即. 三阶行列式共有3!=6项，为所有不同行不同列的元素乘积的代数和. 三阶行列式表示的代数和，也可以由下面的对角线法则来记忆，如图1.2所示，其中各实线连接的三个元素(主对角线及平行线)的乘积是代数和中的正项，各虚线连接的三个元素(次对角线及平行线)的乘积是代数和中的负项.读者可自行验证，方程组（1.4）在满足条件 时，有解，其中Di(i=1，2，3)是把D中的第i列元素用方程组(1.4)右端的常数项代替后所得的三阶行列式. 图1.2 例2计算三阶行列式. 解 由对角线法则有. 例3求的充分必要条件. 解由对角线法则有. 当且仅当a>1时，a2-1>0，因而可得的充分必要条件是a>1. 三、 n阶行列式的定义 类似地，要求含n个未知量n个方程的线性方程组在满足一定条件下的公式解，从前面的讨论过程可以看出，问题在于如何定义出n阶行列式. 为了给出n阶行列式的定义，我们先研究二阶、三阶行列式的定义. 由定义可看出： (1) 二阶行列式共有2! 项，为所有不同行不同列的元素乘积的代数和；三阶行列式共有3!项，为所有不同行不同列的元素乘积的代数和. (2) 各项的正、负号与列标排列的奇偶性有关.当把行标排成标准排列时，带正号的项的列标排列都是偶排列，带负号的项的列标排列都是奇排列.因此各项所带符号由该项列标排列的奇偶性所决定. 从而. 其中∑表示对相应的所有全排列求和.推广而得，我们定义n阶行列式.定义1.4设有n2个数，排成n行n列的数表 （1.6） 作出数表中位于不同行不同列的n个数的乘积a1p1a2p2 anpn，并冠以符号(-1)τ(p1p2 pn)，即得 （1.7） 的项，由于p1p2 pn为自然数1，2， ，n的一个全排列，这样的排列共有n!个，所以形如式（1.7）的项共有n!项，所有这n!项的和称为数表(1.6)所确定的n阶行列式，记为 简记为det(aij)，其中数aij称为行列式det(aij)的元素，即