自然哲学的数学原理

求物体在任意种类向心力作用下的轨道 命题40　定理13 如果某一物体在任意向心力的作用下，以任意方式进行运动，同时，另一物体沿直线上升或下落，那么，当它们处在一个相同高度时，它们的速度相等，并且在所有的相等高度上，它们的速度也相等。 设物体从点A下落，经过点D和点E到达中心C，而另一物体从点V沿曲线VIKk运动。以点C为中心，任意半径作同心圆DI、EK，且与直线AC相交于点D和E，与曲线VIK相交于点I和点K，作IC在点N与KE相交，再作IK的垂线NT。假设这两个圆的间距DE或IN非常小，再假设物体在点D和点I速度相等，由于距离CD和CI相等，那么，在点D和点I的向心力也相等。这些向心力可用相等的线段DE和IN表示，根据运动定律的推论2，可将力IN分解为NT和IT两部分，而作用在直线NT方向的力NT则垂直于物体的路径ITK，在该路径上，这个力不会对物体的速度产生任何影响或改变，但会使物体脱离直线路径并不断偏离轨道切线，从而进入曲线轨道ITKk，这表明这个力只产生这样一种作用。而另一个力IT的作用则发生在物体的运动方向上，它将对物体的运动进行加速，在极短的时间内，因这个力产生的加速度与时间成正比（如果我们取刚出现的线段DE、IN、IK、IT和NT的初始比值）。因此，在相等的时间里，物体在点D和I产生的加速度与线段DE、IT成正比，在不相等的时间里，则与线段DE、IT和时间的乘积成正比。但因为物体在点D、I的速度相等，而且经过直线DE和IK的时间与距离DE和IK成正比，所以物体经过线段DE和IK的加速度之比等于DE、IT和DEIK的积，也就是DE的平方与IT和IK乘积的比。但由于IT×IK等于IN的平方，也就等于DE的平方，因此，物体从点D、I到E、K所产生的加速度也相等，在E和K的速度也同样相等。同理可知，之后只要距离相等，它们的速度也总是相等。由此得证。 同理，与中心距离相等且速度相等的物体，在向相等距离上升时，其减速的速度也相等。 推论1　因此，物体无论是悬挂在绳上摆动，还是被迫沿光滑平面做曲线运动，另一物体沿直线上升或下落，只要在某一相同高度它们有相同的速度，那么在其他所有相同高度上，它们的速度都相等。因为物体在悬挂物体的垂线上或在完全平滑的物品上运动时，它的横向力NT也会产生相同作用，但物体的运动不会因为它而产生加速或减速，只是使它偏离直线轨道。 推论2　设量P为物体由中心所能上升到的*大距离，即无论是摆动还是圆周运动，在曲线轨道上任何一个地方以该点的速度向上能*终移动的距离；如果将量A作为物体从中心到轨道上任意点的距离，再使An-1与向心力始终成正比，其中指数n-1为任意数n减去1，那么，物体在任意高度A的速度将与成正比，而它们的比值也是固定的，因为根据命题39，这就是物体沿直线上升或下落的速度。 命题41　问题28 设指定向心力的类型和曲线的面积，求出物体运动的轨道和在轨道上的运动时间。 将任意向心力指向中心C，求出曲线轨道VIKk。已知一个给定圆VR的圆心为C、任意半径为CV。再由同一圆心作出另外两个任意圆ID和KE，并在点I和点K与曲线轨道相交，在点D和点E与直线CV相交。再作直线CNIX，在点N和点X与圆周KE、VR相交，作直线CKY，与圆VR在点Y相交。将点I向点K无限靠近，并使物体由点V通过I和K运动到点k。再设点A为另一物体从此下落的位置，并使其在位置D的速度与**个物体在位置I的速度相等。下面采用命题39的方法求证：在极短时间内，物体所经过的短线段IK将与速度成正比，因此也和一条线段成正比（该线段的平方等于曲线围成的面积ABFD），所以与时间成正比的三角形ICK可确定，那么，当任意量Q指定后，高度IC等于A时，线段KN将与高度IC成反比，而与成正比。用Z代替量，并假设Q的大小在某种情况下使∶Z=IK∶KN，而ABFD∶ZZ=IK2∶KN2，由分比可得ABFD-ZZ比ZZ等于IN2比KN2，因此比Z（或）等于IN比KN；因此A×KN等于； 又因为YX×XC比A×KN等于CX2比AA，得乘积XY×XC=。因此，在垂线DF上取Db、Dc，使它分别等于和。以b和c为曲线ab、ac的焦点，由点V作直线AC上的垂线Va，切割曲线面积VDba和VDca，并作出纵标线Ez和Ex。由于Db×IN或DbzE面积等于A×KN的一半或等于三角形ICK面积；Dc×IN或DcxE等于YX×XC的一半或等于三角形XCY面积。因为面积VDba、VIC的新生极小量DbzE、ICK始终相等，区域VDca、VCX的新生极小量DcxE和XCY也始终相等。因此，由此产生的面积VDba也将和面积VIC相等，与时间成正比，而由此产生的面积VDca与产生的扇形面积VCX也相等。如果物体在任意指定时间内由点V开始运动，那么面积VDba与时间成正比也同样可确定，而物体的高度CD或CI也能确定，面积VDca、扇形VCX和其角VCI也都可以确定。那么，通过已经指定的角VCI、高度CI，就可求出物体*后所在的位置。由此得证。 推论1　曲线轨道的回归点，即物体的*大高度和*小高度可轻而易举求出。因为当直线IK和NK相等，即面积ABFD和ZZ相等时，由中心所作的直线IC经过这些回归点，并垂直于轨道VIK。 推论2　通过物体的指定高度IC，很容易就能求出曲线轨道在任意位置与直线IC的夹角KIN，亦即，使该角的正弦与半径的比为KN比IK，比值等于Z与面积ABFD比的平方根。 推论3　如果过中心C和顶点V，作一条圆锥曲线VRS，并在曲线上任意一点，例如R，作切线RT在点T与无限延长的轴CV相交。连接CR，作直线CP，使它与横标线CT相等，使角VCP与扇形VCR成正比。如果指向中心的向心力与从中心C到物体位置距离的立方成反比，并在位置V以一定速度沿垂直于直线CV的方向抛出一个物体，那么该物体将一直沿轨道VPQ运动，并总是与点P相切。如果圆锥曲线VRS为双曲线，则物体将会下落至中心处；如果为椭圆，物体将不断上升，*后升到无限远。相反，如果物体以某速度离开位置V，而根据它是直接落向中心还是从此处倾斜上升，可确定图形VRS是双曲线或椭圆，并且还可以按指定比值增大或减小角VCP来求出该曲线轨道。如果向心力变成离心力，则物体将偏离轨道VPQ。如果角VCP与椭圆扇形VRC成正比，CP在长度上等于CT，则可解出该轨道。以上这些都能通过确定的曲线面积求出，计算方法也很简捷，因此不再赘述。