非线性系统的行波解

第1章离散时滞局部和非局部扩散系统的行波解及其渐近行为 反应扩散方程是描述自然界中扩散发展现象的重要模型，其行波解的研究是物理、化学、大气、电子、生态学等学科领域的研究热点之一.非局部扩散和局部扩散是两种重要的扩散形式. 非局部扩散可以描述种群在整个空间上的扩散传播，Lotka-Volterra型时滞非局部扩散竞争系统是一种非常重要的生物模型 (1.1) 其中di，ri，ai和bi(i=1，2)是给定的正常数，时滞表示种群在位置x和时间t的密度，di，ri，riai和ribi分别表示扩散率、增长率、环境承载量、相互竞争的因素.如果被认为是种群从位置y移动到位置x的概率分布函数，那么从所有其他位置移动到位置x的个体总数量是，从位置x移动到其他所有位置的个体总数量是.系统(1.1)有四个平衡点. 如果扩散核 其中δ是Dirac函数，参考[163]，那么系统(1.1)退化为经典的Lotka-Volterra型时滞局部扩散系统 (1.2) 它可以描述种群在局部范围上的扩散传播，且与系统(1.1)有相同的平衡点.*早研究时滞反应扩散方程行波解的存在性的是Schaaf[195].此后许多学者利用单调迭代、上下解方法和Schauder不动点定理来研究具有不同单调性的扩散系统的行波解的存在性，包括时滞系统和非时滞系统，可参考[7，47，106，147，247，271].对于非局部扩散系统的行波解的存在性结果，可参考[9，37，43，44，184，186，196，248，251，252，257，260，262，264]，以及稳定性结果，可参考[37，144，187，217，245，259]. 当时滞均为零时，系统(1.2)连接不同平衡点的行波解的存在性和渐近性结果，可参考[42，71，92，108，109，115，218，222].更多有关时滞扩散竞争系统的行波解的存在性结果，可参考[96，104，132，138，143，191，197]，以及利用滑行方法、强比较原理和Ikehara定理研究行波解的渐近性、单调性和唯一性，可参考[15，31，38，40，44，81，115，142，148，153，217，254，255，258，260，263]. 本章考虑系统(1.1)和(1.2)连接两个半正平衡点的行波解的存在性及其渐近行为，我们利用上下解方法和Schauder不动点定理研究行波解的存在性，利用滑行方法、强比较原理和Ikehara定理研究行波解的渐近行为、严格单调性和唯一性，并且还给出了如下Lotka-Volterra型扩散合作系统的行波解的存在性 (1.3) 本章的内容取自作者与合作者的论文[105，119，124]. 1.1时滞非局部扩散系统的行波解及其渐近行为 本节研究当 (1.4) 时，系统(1.1)连接平衡点，和的行波解的渐近行为、严格单调性和唯一性.类似地，如果(1.4)不等号反向，那么可以得到连接平衡点，的行波解的类似的性质.为简单起见，本节只考虑(1.4)成立的情况.去掉星号，那么系统(1.1)连接平衡点的行波解的性质等价于如下系统连接平衡点(0，0)和的行波解的性质： (1.5) 基于文[184，186]中的方法，我们证明了系统(1.5)连接两个半正平衡点的行波解的存在性.受文[31，81，124，125，142，217，263]的启发，通过细致估计波相的奇异性并利用Ikehara定理，得到了当时滞τ1和τ4很小时，系统(1.5)的行波解在无穷远处的渐近行为.当τ1=τ4=0时，通过利用强比较原理和滑行方法，证明了系统(1.5)的行波解的严格单调性和唯一性.*后，基于行波解的存在性和唯一性以及在某些技术条件的限制下，进一步给出了第二个竞争者的精确指数衰减率.需要指出的是，当时滞τ1和τ4非常小时，这种方法并不能证明行波解的严格单调性和唯一性，因为当利用强比较原理时，行波解不满足非标准的序关系. 1.1.1行波解的存在性 以下采用R2中标准序关系的常用符号.系统(1.5)的行波解是一对平移不变解，具有形式，波速c>0.如果，在R上是单调的，那么它被称为波前解.将，代入(1.5)，则系统(1.5)有连接平衡点(0，0)和的波前解当且仅当系统 (1.6) 关于渐近边界条件 (1.7) 在R上有一对单调解，其中 (1.8) 我们有如下引理，其证明比较容易，在此省略. 引理1.1.1([119])假设(P1)，(P2)和(1.4)成立. 下面根据文[184，186]中的理论证明行波解的存在性.首先给出非线性项满足的单调性条件. 使得(QM)和(QM.)成立.文[184，186]中其他条件的验证是平凡的.根据文[184，186]中的理论，为了证明(1.5)的行波解的存在性，只需构造和验证(1.6)的一对上下解(定义见[184，186]). 对于c>c.，定义如下连续函数 其中q>0充分大且将在后面确定.当q充分大时，满足(A1)—(A3)(如文[184]中所述).由η的选择知，Δ1(ηλ1，c)<0. 通过直接地计算可得下面的引理. 引理1.1.2([119]) 引理1.1.3([119])假设(1.4)成立且 (1.9) (1.10) 证明 对于，需证两种情形. (1)