计算方法

第1章 引论 1.1 数值问题的计算方法 计算方法是解决实际问题过程中形成的处理数值问题的方法，是计算数学的重要分支之一，也是研究各种数学问题求解的数值计算方法。 为了研究某些科学与工程实际问题，首先要依据物理现象、力学规律等可观察的因素，建立问题的数学模型，这些模型一般为代数方程、微分方程或更复杂的数学问题等。科学计算的一个重要内容就是要研究这些数学问题的数值计算方法（适合计算机计算的计算方法），即求解数学模型。因此在计算机成为数值计算的主要工具以后，学习和研究适合于计算机上使用的数值计算方法是个重要的问题。利用数值计算方法解决实际问题的大致过程如下： 实际问题→数学模型→数值计算方法→程序设计→上机处理数据→输出数值结果→分析结果 计算方法涉及的问题和内容很广，但它主要是讨论如何把实际问题归结为数值问题，制定数值问题的算法，同时也讨论算法的优缺点和数值解的精度等问题。 所谓的数值问题就是对给定的问题或模型，给出计算机上可以实现的算法或迭代公式，或利用己知数据求出另一组结果数据，使得这两组数据满足预先指定的某种关系而得到的这一组结果数据就是数值解，得出数值解的过程或方法就称为数值算法。 数值问题的讨论通常以数学分析（或高等数学）和高等代数（或线性代数）作为主要工具和手段，对实际问题进行理论的分析，从而进一步讨论和研究数值问题。计算方法作为数值分析的一个重要手段也有它自己的理论基础和基本的一些概念、有关重要的结果、定理等。需要说明的是，计算方法中得到的有关方法和结果在理论上虽不严格，但通过实际计算、对比、分析等手段被证明是行之有效的方法和结果因此，计算方法用来进行数值分析既有纯粹数学的高度抽象性与严密科学性的特点，又有应用的广泛性与实际试验的高度技术性的特点，是一门与计算机密切配合的实用性很强的数学内容和课程。 根据计算方法的数值分析的特点，学习本课程时首先要注意掌握方法的基本原理和思想、处理问题的技巧及与计算机的结合，其次还要充分重视方法的优缺点、数值结果的误差、迭代公式的收敛及稳定性。 1.2 浮点数 1.2.1 定点数 设r是大于1的正整数，则位数有限的r进制正数x可以表示为（1.1）那么x是有l位整数，m位小数的T进制数。因为T进制数的基为r，所以式（1.1）的x还可以表示成（1.2）这种把小数点固定在指定位置上，位数有限的数称为定点数。 定点数的特点是小数点不能随意移动。例如要把十进制数1105.2391，105.1268，0.6表示成l=4，m=4的定点数，那么可以写成：1105.2391，0105.1268，0000.6000，也就是说，l=4，m=4，r=10的定点数是8位定点数，而所有这样的8位定点数中绝对值*大的数是土9999。9999，绝对值*小的非零数是土0000.0001.所以说定点数是有限个、可数的。 对于给定的l，m，r组成的定点数全体用F（l，m，r）来表示，并称为定点数的数系。对不同的l，m，r组成的定点数的数系是不同的数系。 1.2.2 浮点数 设s是T进制数，P是十进制的整数，记x=sxrP，则x是T进制的数。若s的整数部分为零，即可表示成（1.3）即s是由t位小数构成，其中0运向，则有（1.4）这时x称为t位浮点数，其中s称为尾数，r称为基数，p称为阶数（是一个整数）。若a1并0，则该浮点数称为t位的规，格化的浮点数。若取r=10，则式（1.4）就称为十进制的t位浮点数。 对于不同的t，浮点数所表示的数是不同的，所以可用数系的方法来表示不同的t所表示的浮点数。例如F（t，r，p）来表示t位的、T进制的、阶数为p的浮点数的全体。 例1把以下十进制数表示成3位的浮点数和3位的规格化的浮点数。 0.015 15.4 0.89 解3位浮点数的表示是：0.015x100，0.154X102，0.890x100 还可以表示成：0.150x10-1，0.154X102，0.089X101 3位规格化浮点数的表示是：0.150x10-1，0.154X102，0.890x100因此3位浮点数的表示一般不是唯一的，而3位规格化的浮点数的表示是唯一的。所以说，一个浮点数其规格化的表示是唯一的。 计算机中数的运算都是以浮点数的形式来实现的，并以规定的t位规格化的浮点数进行运算 在计算中必须注意浮点数的运算规则，就是两个浮点数进行加减运算时先要对阶，然后计算。即把两个浮点数的阶数写成同一事次，然后才对两个浮点数的尾数进行加减运算。例如对浮点数x=0.156X103，y=0.08x10-1，在6位的规格化的浮点数的计算机上进行运算时有（1.5）。 1.3 误差、有效数字 1.3.1 误差的来源 解决社会、经济、生态等领域的实际问题中常用的数值计算方法包括：函数的数值逼近、非线性方程数值解、数值线性代数、数值微积分和微分方程数值解等。计算方法与数值分析不仅要讨论这些数值方法，而且还要研究这些模型和算法的误差应该强调，误差分析在计算方法、数值分析和数学建模中占有一定地位。 解决实际问题时对问题进行分析研究的基础上要建立对应的数学模型来刻画和描述原问题。在这个建模过程中往往根据主要因素，并忽略一些次要因素的影响，简化许多条件，使实际问题理想化，便于用数学语言、数学表达式描述和表达原问题。因此，数学模型是实际问题理想化、简单化得到的，是实际问题的近似把实际问题的解与数学模型的解之间的误差称为“模型误差”。 例2设一根铝棒在温度t时的实际长度为Lt，在t=0时的实际长度为Lo，用lt来表示铝棒在温度为t时的长度的近似值，并己建立了数学模型（1.6）式中，a是由实验观测到的常数，当不考虑代入数据本身的误差时，Lt-lt就是模型误差。 数学模型一旦确定，模型中包含有一些物理量（变量），这些物理量大多都是由观测、测量得到的即数值问题的原始数据一般是通过大量的实验和观测得到的，这些数据往往与原问题的实际的精确值有误差。而数学模型求解时总要利用一些观测数据，所以不考虑模型误差时，由于测量仪器精度的限制以及人工干预等多方面的原因，模型中代入的数据是有误差的，因此在求解过程中误差是不可避免的，这种误差称之为“测量误差”或“观测误差”。 用数值计算方法来求数学模型的数值解时，有时只能用有限次的运算来得到数值解。如求一个无穷级数（1.7）之和时总是用它前面的若干项的和来近似代替无穷级数之和，即截去该级数的后一段而根据计算方法的理论，迭代公式是需要无限次地循环下去，所以用级数的前面若干项的和来近似原级数时必然产生误差，由此引入的误差称为“截断误差”，截断误差也称为方法误差。 例如对某一函数f（x）用它的泰勒多项式Pn（x）来近似代替函数f（x）时，其产生