如何漫游无穷

【??欧几里得完美的证明】 作为早期数学家恐惧“无穷”的例子，我们来看看欧几里得（Euclid，右图为目前矗立在牛津大学自然史博物馆的欧几里得雕像）是如何在一番优雅的证明中透露出对无穷的恐惧的。 为了证明寻找*大素数（即质数）是徒劳的，欧几里得要求我们首先假设存在一个*大素数n。然后列出所有比n 小的素数，把它们相乘并加1。这样得到的数显然不能被任何小于n 的素数整除。所以它要么是一个更大的素数，要么就是不在我们之前列表中的素数的乘积。因此我们*开始的假设肯定是错误的，根本不存在*大素数这种东西。但是欧几里得并未做出素数“无穷多”的结论，他只是声称“素数的数目比任何给定的素数集合所包含的素数都要多”。在这一阶段，对无穷的思考仍然是充满争议的。 【对无穷岛的搜寻】 几个世纪以来，人们越来越清晰地认识到，你不能假装无穷不存在，它可以渗入各种不同的话题中。举例来说，如果想求出2 的平方根，或者一个圆形游泳池的面积，你就需要有无穷多数位的无理数。两条平行线的交点，也就是艺术中所说的灭点，实际上是在无穷远处的，但是画家必须把它当作真实存在的事物来处理。甚至在0 和1 之间都有无穷多个数字。如果无法厘清空间上的有限和无限，以及时间周期中的差别，我们如何讨论宇宙的年龄和尺度呢？ 因此，数学家和思想家越来越有必要克服他们心中的恐惧和怀疑，直面无穷这个概念真实存在的可能性。而如果它是真实存在的，那么一定存在着某种方式让我们能够前往那里去亲身体验一把，不是吗？ 这，就是无穷岛的由来…… 无穷岛是一个想象中的天堂，身在其中的我们可以体验无穷的奇特和其展现出的奇观。在岛上，我们可以吃到无限量的饭菜、踏上无限远的旅程、体验无限多的冒险。真正奇怪的是，虽然这是一个非常难以想象的地方，但去那边旅行却非常容易。因为到达那里的唯一方法，就是意识到你已经身处其中……无论你身在何方，只要环顾四周，你就可以随时造访无穷岛。 在过去，许多著名的思想家都已经探索过这个岛了。从芝诺（Zeno）的悖论到毕达哥拉斯（Pythagoras）的理论， 早期的数学家一直在努力接受它的奇特之处。伽利略·伽利雷（Galileo Galilei）是*早一批推测无穷岛的一部分可能和整个岛屿一样大的人之一。微积分和后来的许多数学方法都起源于对无穷这个概念的探索。自19 世纪以来，我们逐渐认识到存在着不同大小的无穷。而随着我们对这个课题了解的加深，无穷大和无穷小在计算机、科学、艺术和文化中发挥了越来越重要的作用。 通过阅读本书，你将循着过去那些伟大思想家发现的路线，体验到属于自己的无穷岛之旅。在开始旅程之前，了解一些关于发现和探索这个岛屿的历史故事是很有用的。因此， 这本无穷漫游指南的一个重要部分是着眼于该领域历史上的重要人物和他们的思想。此外，书中还穿插了一些旅行建议， 告诉你一些在无穷岛之旅中要做的事情和要参观的地方。 【健康警告】 即将启程时，我们有必要发出一个简短的警告。从这样一个广阔的视角来思考无穷的问题，很容易让人产生一种恐惧感：我们的存在、世界乃至宇宙是多么渺小。威廉·华兹华斯（William Wordsworth） 曾恰如其分地写道：“苦难悠悠，朦胧中，暗地里，原是无穷尽。” 无论是出于这种渺小感还是其他原因，研究过这一课题的人当中，有一些人的灵魂一直处于困境之中。我们将在这本无穷漫游指南后面的内容中看到，无穷岛上的一些伟大思想家，比如格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）和库尔特·哥德尔（Kurt Gödel），都遭受了精神和情感上的混乱。 尽管他们的病症是否源于对无穷的深刻思考尚有争论， 但是很显然，这是一个能够令人头晕并普遍感到困惑的话题。好消息是，多亏过去许多伟大思想家已经探索了岛上荒凉的地域，我们如今可以安全地跟随着他们的足迹前行。也正是由于他们的努力，无论何时何地，我们都可以舒适地体验岛上的乐趣。