数据驱动下的系统动力学研究

第1章基础知识 本章介绍了动力系统与相空间重构的基本概念与定理，包括相空间、流、半流、轨道及稳定性等基本概念，以及Takens嵌入定理和广义嵌入定理，给出了利用时间延迟和嵌入维数对相空间的重构. 1.1动力系统 1.1.1基本概念 动力系统是确定性过程这个一般科学概念的数学形式化.在生物、化学、经济、生态、物理等诸多系统中，系统的将来状态和过去状态都可以用其现在的状态加上决定其发展的规律来刻画到某种程度.如果这一发展规律不随时间变化，那么这一系统就是稳态的，且系统的性态完全由初始状态决定.因此动力系统的定义应当包含其发展的规律以及所有可能出现的状态.在给出动力系统的数学化定义之前我们先介绍流、半流以及轨道这些概念. 一个系统所有可能的状态可以用集合X中的点来刻画，这个集合就称为系统的状态空间.通常状态空间也叫做相空间.系统的发展规律可以用状态空间上的映射来定义.记系统的初始状态为％，系统在t时刻的状态为xu定义状态空间X上的映射: 将映射为t时刻的状态: (1.1) 映射通常被称为系统的发展算子.在连续时间情况下，发展算子族称为流.若发展算子对和都有定义，则称这样的动力系统是可逆的.可逆系统的初始状态不仅确定着系统的将来状态，也确定系统的过去状态.若发展算子仅对t>0有定义，则这样的系统不可逆.不可逆系统的发展算子在连续时间情形下称为半流. 发展算子^满足两个性质： (1)恒同映射存在性：这里id是状态空间X上的恒同映射； (2)时间运算保态性： 恒同映射存在性说明系统不会“本能地”改变它的状态;时间运算保态性表明系统从点ZeX出发，经过t+S时间的发展结果与状态X先经过S个时间单位到达再经过t个时间单位演化所到达的状态是一致的（图1.1)，这说明系统状态的演化规律不会随时间变化. 下面给出动力系统的正式定义： 定义1.1动力系统是一个三元组，其中，r是时间集，x是状态空间，是定义在状态空间上满足恒同映射存在性、时间运算保态性的发展算子族. 用两个例子来说明这个定义. 例1.1(平面线性系统）考虑状态空间x=R2上依赖于teR1的矩阵 其中为实数.显然，它确定了X上的一个连续-时间动力系统，且此系统可逆.映射#对所有的都有定义，对和都连续且光滑. 例1.2(符号动力系统）考虑所有可能的由两个符号，例如，所构成的双向无穷序列集合为状态空间X.映射，将序列 映射为序列： 其中.映射分将序列w向左移动了一个位置构成了序列0.这个映射称为移位映射，它定义了一个可逆的离散-时间动力系统，岭称为符号动力系统. 与动力系统相对应的基本几何对象是相空间中动力系统的轨道，以及由这些轨道所组成的相图.下面我们给出动力系统轨道的定义. 定义1.2状态空间X中从出发的一条轨道是指状态空间的一个有序子集， 如果对于一切的，则称点为平衡点或者不动点一般在连续-时间系统中我们称这样的点为平衡点，在离散-时间系统中称这样的点为不动点).平衡点是相空间中*简单的轨道，另一种简单形式的轨道为环. 定义1.3环是一个周期轨道.即对一个非平衡点轨道Lo满足：轨道上的任一点存在使得对所有. 满足周期轨道性质的*小称为环的周期.在连续-时间系统中，环是一条闭曲线，如图1.2(a).连续-时间系统的一个环，如果它的邻域内没有其他环存在就称这个环为极限环.在离散-时间系统中，环是一个点集，如图1.2(b)， 环的周期T0=N为整数.值得注意的是，离散轨道上的每一个点都是映射的次迭代的不动点. 图1.2(a)连续-时间系统的周期轨道；(b)离散-时间系统的周期轨道 1.1.2不变集与稳定性 下面介绍动力系统不变集以及稳定性的概念. 第1章基础知识 定义1.4 定义1.5 定义1.6 简单来说，如果不变集S0是Lyapunov稳定的，那么它的轨道受到扰动后仍然停留在S0附近；如果不变集是渐近稳定的，那么轨道在扰动后都会收敛到S0.当然存在不变集是Lyapunov稳定的，但它不是渐近稳定的丨图1.3(a))，同样也存在不变集，它是吸引的但不是Lyapunov稳定的（图1.3(b)). 若是有限维离散-时间光滑动力系统的不动点，可以借助定理1.1来叙述稳定性的充分条件. 定理1.1离散-时间动力系统 这里f是光滑映射.假设是系统的不动点，即.记在处的雅可比矩阵为，则当A的所有特征值，满足时不动点是稳定的. 对于连续-时间动力系统，平衡点#稳定的充分条件由定理1.2给出. 定理1.2考虑微分方程定义的连续-时间动力系统 这里/是光滑函数.假设系统有平衡点#，即/(x。=0.记f(x)在平衡点处的 1.1动力系统 雅可比矩阵为.如果4的所有特征值，满足，那么平衡点;是稳定的. 定理1.3(压缩映射原理）设X是一个完备的距离空间，距离为p.如果存在连续映射，使得对一切，和某个满足 则离散-时间动力系统有一个稳定的不动点，并且对任意点叉出发的轨道，当时有. 注意，压缩映射原理保证了不动点Z的存在性和唯一性，并且给出了不动点大范围渐近稳定性的证明工具. 例1.3化学系统中的一个例子（Brussel振子)，假设系统是由底物通过下面几个不可逆反应步驟组成： 这里，大写字母表示试剂，箭头上的ki表示对应的反应率，底物D和E不再加入反应，A和丑假设为常数.由质量作用定律，得出下面两个关于浓度的非线性方程： 对变量和时间做线性尺度化得 试求解Brussel振子方程的平衡点及平衡点稳定时参数需满足的条件. 系统平衡点满足 求解得.系统在平衡点处的特征方程满足 由定理1.2，若使系统在平衡点稳定，则需 即， 例1.4(Volterra生态模型）Volterra生态模型是*早的生态系统模型之一，由两个非线性微分方程刻画： 其中N1和N2分别是被捕食者和捕食者的个数.在生态系统中，a是被捕食者生长率，c是捕食者死亡率，b和d刻画捕食者消耗被捕食者的效率.试分析Volterra生态系统平衡点的稳态性. 系统平衡点满足 求解得系统的非零平衡点为.系统在平衡点处的特征方程满足，即，不能保证所有特征值的实部小于零.故系统在平衡点处不稳定. 1.2相空间重构 现实自然界与社会中出现的现象是十分复杂的，通常我们可以运用非线性方程的动力学演化规律来简化反映复杂现象的变化特征.然而，对于大多数客观世界的复杂现象，我们并不能找到确定性的方程来刻画其动态性质，有时我们仅仅能够在系统中观测到一系列随时间变化的数值，而且这些观测值并不一定就是系统的自变量，也可能是与系统自变量相关的一系列数据.那么，我们能否从观测的时间序列中得到系统的动力学性质呢？相空间重构方法与嵌入定理给出了肯定回答. 系统中任一变量的演化都是由与之相互作用的其他变量所决定的，那么这些相关分量的信息就会隐含在任一分量的发展过程中.因此我们可以从某一分量的