线性代数(第三版)

**章 行列式及其应用 1 1.1 全排列、逆序数与对换 1 1.1.1 排列与逆序 1 1.1.2 对换 2 1.2 行列式的定义 3 1.2.1 二阶行列式 3 1.2.2 三阶行列式 4 1.2.3 n阶行列式 5 1.3 行列式的性质 7 1.4 行列式按行(列)展开 14 1.5 克莱姆法则 21 1.5.1 非齐次线性方程组 21 1.5.2 齐次线性方程组 24 本章小结 26 习题一 27 自测题一 30 第二章 矩阵及其运算 32 2.1 矩阵的概念 32 2.1.1 矩阵的定义 32 2.1.2 几种特殊矩阵 34 2.2 矩阵的运算 37 2.2.1 矩阵的加法与减法 37 2.2.2 数与矩阵相乘 37 2.2.3 矩阵的乘法 38 2.2.4 矩阵的转置 41 2.2.5 方阵的行列式 43 2.3 可逆矩阵 44 2.4 矩阵的分块 48 2.5 矩阵的初等变换 51 2.5.1 初等变换 52 2.5.2 初等矩阵 53 2.5.3 用初等变换求逆矩阵 57 2.6 矩阵的秩 58 2.6.1 矩阵秩的定义 58 2.6.2 用初等变换求矩阵的秩 59 2.7 矩阵的应用 63 本章小结 67 习题二 69 自测题二 71 第三章 n维向量空间 73 3.1 n维向量及其运算 73 3.1.1 n维向量 73 3.1.2 向量的运算 75 3.1.3 向量组的线性组合 75 3.2 向量组的线性相关性 76 3.2.1 线性相关的概念 76 3.2.2 线性相关的判定 77 3.3 极大无关组与向量组的秩 81 3.3.1 等价向量组 81 3.3.2 向量组的秩 81 3.3.3 向量组等价的应用 86 3.4 向量空间 88 3.4.1 向量空间与子空间 88 3.4.2 向量空间的基与维数 89 3.5 向量的应用 91 3.5.1 产品的配置问题 91 3.5.2 篮球比赛中参赛运动员选取问题 93 本章小结 95 习题三 96 自测题三 98 第四章 线性方程组 100 4.1 线性方程组的消元解法 100 4.1.1 线性方程组的矩阵表示 100 4.1.2 线性方程组的消元解法——高斯消元法 101 4.2 齐次线性方程组 103 4.2.1 齐次线性方程组的解的判定 103 4.2.2 齐次线性方程组的解的结构 104 4.3 非齐次线性方程组 110 4.3.1 非齐次线性方程组的解的判定 110 4.3.2 非齐次线性方程组的解的结构 114 4.4 线性方程组的应用 117 4.4.1 网络流模型 117 4.4.2 物资调运问题 118 4.4.3 交通流控制问题 119 本章小结 120 习题四 121 自测题四 124 第五章 矩阵的特征值及对角化 126 5.1 向量组的正交化与正交矩阵 126 5.1.1 向量的内积 126 5.1.2 线性无关向量组的正交化方法 129 5.1.3 正交矩阵 133 5.2 方阵的特征值及特征向量 134 5.2.1 特征值与特征向量的概念 134 5.2.2 特征值与特征向量的性质 137 5.3 相似矩阵 139 5.3.1 相似矩阵及其性质 139 5.3.2 方阵与对角阵相似的充分必要条件 141 5.4 实对称矩阵对角化 143 5.4.1 实对称矩阵的性质 143 5.4.2 实对称矩阵的对角化 144 5.5 矩阵对角化的应用 149 5.5.1 利用矩阵对角化求矩阵的高次幂 149 5.5.2 人口迁移模型 150 5.5.3 教师职业转换预测问题 152 本章小结 153 习题五 156 自测题五 158 第六章 二次型 159 6.1 二次型及其标准形 159 6.1.1 二次型 159 6.1.2 二次型的矩阵表示形式 160 6.1.3 矩阵的合同 163 6.2 化二次型为标准形 164 6.2.1 用配方法化二次型为标准形 164 6.2.2 用初等变换化二次型为标准形 168 6.2.3 用正交变换化二次型为标准形 170 6.2.4 二次型与对称矩阵的规范形 174 6.3 正定二次型 175 6.3.1 正定二次型 175 6.3.2 正定矩阵的应用 178 本章小结 179 习题六 181 自测题六 181 第七章 线性空间与线性变换 183 7.1 线性空间的定义与性质 183 7.2 维数、基与坐标 188 7.3 基变换与坐标变换 191 7.4 线性变换 196 7.4.1 线性变换 196 7.4.2 线性变换的基本性质 198 7.5 线性变换的矩阵表示式 200 本章小结 205 习题七 206 自测题七 207 附录 习题和自测题答案 209 参考文献 224