组合数学

目录 前言 符号说明 第1章 基本计数技术 1 1.1 图的基本概念 1 1.1.1 图的定义 1 1.1.2 图的连通性 3 1.1.3 图的同构 6 1.2 基本计数原理 7 1.2.1 分类计数原理 7 1.2.2 分步计数原理 10 1.2.3 对应计数原理 11 1.2.4 殊途同归原理 13 1.3 排列的计数 14 1.3.1 排列 14 1.3.2 重复排列 15 1.3.3 重集的排列 16 1.3.4 圆排列初步 20 1.4 组合的计数 20 1.4.1 组合 21 1.4.2 重复组合 21 1.4.3 重集的组合 23 1.4.4 不相邻的组合 24 1.5 组合数的性质 25 1.6 q多项式系数 31 1.7 排列的生成算法 37 1.7.1 字典序法 37 1.7.2 换位生成算法 40 1.7.3 逆序生成算法 42 1.8 组合的生成算法 44 1.8.1 基于二进制的算法 44 1.8.2 字典序法 46 1.8.3 旋转门算法 48 1.9 映射与排列的表示 51 1.9.1 映射的表示与计数 51 1.9.2 排列的表示与计数 55 1.9.3 排列的降序集 63 1.9.4 排列的树表示 64 1.9.5 排列的矩阵表示 67 习题 1 68 第2章 母函数及其应用 75 2.1 普通型母函数 75 2.2 指数型母函数 87 2.3 母函数的合成 99 2.4 多元母函数 112 2.5 整数的拆分 115 2.5.1 整数拆分的概念 116 2.5.2 无序拆分的表示 118 2.5.3 无序拆分与拆分数 119 2.5.4 各部分互异的拆分 124 2.5.5 受限的拆分 126 2.5.6 拆分数 p(n) 的性质 130 2.5.7 整数的完备拆分 139 习题 2 144 第 3 章 递推关系 148 3.1 递推关系的概念 148 3.2 线性常系数递推关系 151 3.3 一般递推关系 167 习题 3 176 第4章 特殊计数序列 180 4.1 Fibonacci 序列 180 4.2 Catalan 序列 182 4.3 Schr.der 序列 193 4.4 Motzkin 序列 203 4.5 Stirling 序列 207 4.6 一般反演序列 217 习题 4 218 第5章 容斥原理 226 5.1 容斥原理 226 5.2 符号形式 236 5.3 禁排问题 245 5.3.1 棋盘的概念 245 5.3.2 棋盘多项式 248 5.3.3 Ferrers 棋盘 256 习题 5 258 第 6 章 M.bius 反演及应用 261 6.1 问题引入 261 6.2 偏序集 263 6.3 偏序集的构造 284 6.4 关联代数 290 6.5 M.bius 反演 311 6.6 M.bius 反演的应用 316 6.6.1 Bn 上的应用 316 6.6.2 Dn 上的应用 321 6.6.3 Πn 上的应用 324 6.6.4 Fnq上的应用 327 习题 6 331 第7章 鸽巢原理 334 7.1 鸽巢原理：简单形式 334 7.2 鸽巢原理：一般形式 338 7.3 Ramsey 问题 340 7.4 Ramsey 类定理 347 习题 7 351 第8章 Pólya 计数理论 353 8.1 问题引入 353 8.2 关系、群及其性质 354 8.2.1 等价关系 355 8.2.2 群的概念和性质 355 8.2.3 子群及其判定 358 8.2.4 Lagrange 定理 360 8.2.5 群的同态与同构 362 8.3 置换群及其性质 363 8.4 Burnside 引理 370 8.5 Pólya 定理 377 8.6 置换群的循环指数 385 8.7 Pólya 定理的母函数形式 397 8.8 Pólya 定理的扩展 409 8.8.1 直和上的扩展 409 8.8.2 Cartes 积上的扩展 413 8.8.3 子集集上的扩展 415 8.8.4 de Bruijn 定理 419 习题 8 440 习题答案或提示 443 参考文献 459