考研数学你真的掌握了吗? 多元微积分

目 录 第 1 章 多元函数的微分学 1 1.1 多元函数的极限与连续性 1 1.1.1 重极限的定义 1 1.1.2 多元函数的连续性 2 1.2 多元函数的偏导数与全微分 3 1.2.1 偏导数的定义 3 1.2.2 可 (偏) 导与连续的关系 5 1.2.3 多元函数的微分 6 1.2.4 多元函数的连续、可导与可微的关系 8 1.2.5 高阶偏导数及混合偏导数 12 1.3 复合求导与隐函数求导 13 1.3.1 复合求导 13 1.3.2 高阶偏导数问题 16 1.3.3 变量替换 18 1.3.4 由一个方程确定的隐函数求导 18 1.3.5 由方程组确定的隐函数求导 21 1.4 方向导数与梯度 (仅限数学一) 22 1.4.1 方向导数 22 1.4.2 梯度 23 1.4.3 梯度的重要性 25 1.5 空间解析几何 (仅限数学一) 27 1.5.1 向量的叉乘 27 1.5.2 平面及其方程 28 1.5.3 空间直线及其方程 29 1.5.4 旋转曲面及其方程 31 1.6 多元微分学的应用 (仅限数学一) 33 1.6.1 空间曲线的切线与法平面 (一) 33 1.6.2 空间曲线的向量表示 34 1.6.3 空间曲面的切平面与法线 35 1.6.4 空间曲线的切线与法平面 (二) 27 1.7 多元函数的极值与*值 37 1.7.1 二元函数的极值 38 1.7.2 二元函数的*值 44 1.7.3 条件极值的拉格朗日乘数法 46 1.7.4 再探二元函数的*值 53 第 2 章 多元函数的重积分 54 2.1 二重积分的概念与性质 54 2.1.1 二重积分的定义 54 2.1.2 二重积分的性质 55 2.2 直角坐标系下二重积分的计算 56 2.2.1 矩形区域上的二重积分 57 2.2.2 X 型区域上的二重积分 58 2.2.3 Y 型区域上的二重积分 60 2.2.4 无界区域上的二重积分 (仅限数学三) 61 2.2.5 参数方程下的二重积分 63 2.3 二重积分的次序问题 64 2.3.1 如何选择合适的积分次序 64 2.3.2 交换积分次序. 67 2.4 极坐标系下二重积分的计算 69 2.4.1 积分区域为圆域 70 2.4.2 积分区域为非圆域 72 2.4.3 积分区域由极坐标方程给定 74 2.4.4 积分区域由一般隐函数给定 75 2.4.5 广义极坐标 77 2.5 二重积分的对称性 78 2.5.1 奇偶性与对称性 79 2.5.2 轮换对称性 81 2.6 分段函数的二重积分 83 2.7 三重积分 (仅限数学一) 87 2.7.1 利用直角坐标计算三重积分 87 2.7.2 如何确定球坐标的上下限 88 2.7.3 利用球坐标计算三重积分 91 2.7.4 三重积分的奇偶性与轮换对称性 93 第 3 章 曲线积分 (仅限数学一) 94 3.1 曲线的弧长 94 3.2 **型曲线积分 97 3.2.1 **型曲线积分的定义 97 3.2.2 **型曲线积分的计算 97 3.2.3 空间曲线的参数化 99 3.3 **型曲线积分的对称性 102 3.3.1 平面曲线上的**型曲线积分的对称性 102 3.3.2 空间曲线上的**型曲线积分的对称性 103 3.4 第二型曲线积分 104 3.4.1 第二型曲线积分的定义 104 3.4.2 第二型曲线积分的计算 105 3.5 格林公式 110 3.5.1 格林公式的直接应用 111 3.5.2 曲线不封闭的情形 111 3.5.3 偏导数不连续的情形 112 3.5.4 格林公式的反向利用 116 3.6 曲线积分与路径无关的等价条件 117 第 4 章 曲面积分 (仅限数学一) 124 4.1 曲面的面积 124 4.1.1 一般简单曲面的情形. 126 4.1.2 平面被圆柱面所截的情形 128 4.1.3 球面被圆柱面所截的情形 129 4.1.4 锥面被圆柱面所截的情形 130 4.2 **型曲面积分 131 4.2.1 **型曲面积分的定义 131 4.2.2 **型曲面积分的计算 132 4.3 **型曲面积分的对称性 138 4.4 第二型曲面积分 140 4.4.1 曲面的侧 140 4.4.2 第二型曲面积分的计算 141 4.5 两种曲面积分的相互转化 145 4.6 高斯公式 151 4.6.1 直接应用高斯公式 152 4.6.2 曲面不封闭的情形 153 4.6.3 偏导数不连续的情形 155 4.6.4 第二型曲面积分三种方法的比较 158 4.7 斯托克斯公式 160 4.7.1 旋度的计算 161 4.7.2 平面与柱面交线的情形 166 4.7.3 平面与球面交线的情形 167 4.7.4 柱面与球面交线的情形 168 4.7.5 斯托克斯公式与格林公式的统一 170 4.8 微积分的巅峰 170 参考答案 172