包邮偏微分方程

目录
前言
第 1 章 经典方程的导出与定解问题 1
1.1 基本概念 1
1.2 经典方程的导出 6
1.2.1 弦振动方程 6
1.2.2 热传导方程 10
1.2.3 位势方程 12
1.3 定解问题 12
1.3.1 定解问题和定解条件 12
1.3.2 定解问题的适定性 15
1.4 叠加原理 16
习题一 19
第 2 章 二阶偏微分方程的分类和简化 21
2.1 二阶方程的特征 21
2.2 二阶方程的分类与化简 24
2.2.1 两个自变量的情形 24
2.2.2 多个自变量的情形 32
习题二 35
第 3 章 波动方程 36
3.1 问题的简化 36
3.1.1 初值问题的简化 36
3.1.2 混合问题的简化 39
3.2 一维波动方程的初值问题 42
3.2.1 达朗贝尔公式 42
3.2.2 达朗贝尔公式的物理意义 46
3.2.3 依赖区间、决定区域和影响区域 47
3.2.4 一维半无界问题 49
3.3 高维波动方程的初值问题 52
3.3.1 三维波动方程的初值问题 52
3.3.2 二维波动方程的初值问题 60
3.3.3 特征锥 62
3.3.4 惠更斯原理、波的弥散 64
3.4 混合问题 (初边值问题) 66
3.4.1 齐次波动方程的混合问题 66
3.4.2 非齐次波动方程的混合问题 73
3.4.3 * 施图姆–刘维尔特征值问题 78
3.4.4 二维波动方程的混合问题 81
3.4.5 物理意义, 驻波法 83
3.5 能量法与波动方程解的适定性 85
3.5.1 能量等式 混合问题解的唯一性 86
3.5.2 能量不等式 混合问题解的稳定性 88
3.5.3 初值问题解的唯一性和稳定性 91
习题三 95
第 4 章 热传导方程 100
4.1 傅里叶变换及其基本性质 100
4.2 热传导方程的初值问题 110
4.2.1 初值问题与基本解 110
4.2.2 半无界问题 118
4.3 热传导方程的混合问题 121
4.4 极值原理与热传导方程的适定性 127
4.4.1 极值原理 127
4.4.2 **边值问题解的适定性 129
4.4.3 第二、第三边值问题解的*大模估计 131
4.4.4 初值问题解的*大模估计 134
4.4.5 混合问题解的能量不等式 135
习题四 136
第 5 章 位势方程 140
5.1 调和函数 140
5.1.1 调和函数与基本解 140
5.1.2 格林公式 142
5.2 调和函数的基本积分公式及性质 142
5.2.1 调和函数的基本积分公式 142
5.2.2 调和函数的基本性质 144
5.3 格林函数 148
5.3.1 格林函数的导出 148
5.3.2 格林函数的性质 150
5.4 几种特殊区域上的格林函数和狄利克雷问题的解 153
5.4.1 上半空间的格林函数 153
5.4.2 球上的格林函数 155
5.4.3 圆域上的格林函数 159
5.5 调和函数的进一步性质 162
5.6 极值原理与位势方程解的适定性 165
5.6.1 极值原理 165
5.6.2 *大模估计 169
习题五 172
第 6 章 一阶偏微分方程 176
6.1 基本概念 176
6.2 线性齐次偏微分方程 177
6.2.1 通解 177
6.2.2 初值问题 182
6.3 拟线性偏微分方程 185
6.3.1 通解 185
6.3.2 初值问题 189
习题六 194
部分习题答案与提示 195
参考文献 214