高等数学-(上册)-(第2版)

第3章微分中值定理与导数的应用在第2章中我们主要研究了已知函数的求导问题,而在实际应用中更多的是已知导数的性质,研究函数的性质,所以本章将借助导数来研究函数及其曲线的性态,解决一些常见的实际问题.下面首先来介绍导数应用的理论基础——微分中值定理. 3.1微分中值定理〖*4/5〗3.1.1罗尔定理在第1章研究正弦函数时,我们发现这样一个有趣的几何现象: y=sinx,x∈［0,2π］的图形如图3.1.1所示,该图形在［0,2π］上处处连续,除端点外处处有不垂直于x轴的切线,且sin0=sin2π,则函数y=sinx在［0,2π］内至少有图3.1.1 一点处的切线是水平的.该点就是曲线的*高点或*低点.这种现象不是偶然的,为了说明这一现象,我们先给出一个引理. 费马引理如果函数f(x)在点x0处可导,并且在x0的某邻域U(x0)内有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))则f′(x0)=0证不妨设x∈U(x0)时,f(x)≤f(x0).则当xx0时，有f(x)-f(x0)x-x0≤0由函数极限的保号性得 f′-(x0)=limx→x-0f(x)-f(x0)x-x0≥0第3章微分中值定理与导数的应用3.1微分中值定理[1][2]f′+(x0)=limx→x+0f(x)-f(x0)x-x0≤0 再由f′(x0)存在可知f′+(x0)=f′-(x0),则f′(x0)=0. 同理可得f(x)≥f(x0)的情形,结论得证. 通常称导数为零的点为函数的驻点. 定理3.1.1(罗尔定理)设函数f(x)满足 (1) 在闭区间［a,b］上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) f(a)=f(b), 则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=0. 分析若要证明结论,根据费马引理,只要至少找到一个点ξ∈(a,b),使它满足f(x)≤f(ξ)(或f(x)≥f(ξ))即可,并且由定理**个条件可知,连续函数在闭区间上必有*大值和*小值,所以只要证明在开区间(a,b)内能取到*大值或*小值即可. 证由于f(x)在闭区间［a,b］上连续,根据*大值*小值定理,f(x)在闭区间［a,b］上必有*大值M和*小值m,这样,只有下面两种可能的情形： (1) 当M=m时,f(x)≡M,所以ξ∈(a,b),都有f′(ξ)=0. (2) 当M>m时,因为f(a)=f(b),则M和m中至少有一个不是端点值,即M和m中至少有一个与f(a)不相等.不妨设M≠f(a),则在开区间(a,b)内必有一点ξ,使得f(ξ)=M.因此,x∈［a,b］,有f(x)≤f(ξ),于是由费马引理得f′(ξ)=0. 同理可证m≠f(a)的情形. 注1罗尔定理的几何意义是: 如果光滑曲线y=f(x),x∈(a,b)在两个端点处函数值相等,则在曲线上至少有一点处的切线是水平的,如图3.1.2所示. 图3.1.2 注2罗尔定理条件缺一不可. 例如,f(x)=x,0≤x 0,x=1在x=1处不连续,不满足罗尔定理的**个条件,f(x)在(0,1)内的导数恒等于1,不满足罗尔定理的结论； 函数f(x)=|x|,x∈［-1,1］在x=0处不可导,不满足罗尔定理的第二个条件,f(x)在(-1,1)内没有导数为零的点,不满足罗尔定理的结论； 函数f(x)=x,x∈［0,1］在端点处函数值不相等,不满足罗尔定理的第三个条件,f(x)在(0,1)内的导数恒等于1,不满足罗尔定理的结论. 注3罗尔定理的三个条件只是罗尔定理结论的充分条件,不是必要条件,即满足罗尔定理的结论不一定满足罗尔定理的条件. 例如，函数f(x)=|x|,-1≤x≤1 (x-3)2,1 罗尔定理在讨论方程根的情况时用处较多,比如下面的例子. 例1证明方程x3+x-1=0在开区间(0,1)内只有一个实根. 证(1) 证明方程有实根. 不妨假设f(x)=x3+x-1则f(x)在［0,1］连续,且f(0)·f(1) =-1 (反证法)不妨假设函数f(x)在(0,1)内有两个实根x1=a,x2=b且a 由于f(x)在［a,b］(0,1)上连续,在(a,b)内可导,f(a)=f(b)=0.利用罗尔定理可知,在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)=0.这与f′(x)=3x2+1≠0矛盾,说明方程只能有一个实根. 3.1.2拉格朗日中值定理 在罗尔定理中,条件f(a)=f(b)很特殊,一般函数不满足这个条件.而拉格朗日中值定理就是将这个条件去掉,即将罗尔定理的几何图形3.1.2旋转得到图3.1.3,则在图3.1.3 开区间(a,b)内至少存在一点处的切线与两端点所在的直线平行,由此得到拉格朗日中值定理的结论. 定理3.1.2(拉格朗日中值定理)设函数f(x)满足 (1) 在闭区间［a,b］上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导, 则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a分析易知拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广,所以要证明拉格朗日中值定理,很自然的想法是构造一个辅助函数使得它满足罗尔定理,借助罗尔定理来证明拉格朗日中值定理.从图3.1.3 中很容易发现，函数y=f(x)与直线lab在端点(a,f(a)),(b,f(b))处的函数值相等.同时直线lab的方程为g(x)=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)将F(x)=f(x)-g(x)作为辅助函数,则F(a)=F(b)=0满足罗尔定理第三个条件. 证作辅助函数F(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)b-a(x-a)因为f(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,所以F(x)满足条件: 在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,F(a)=F(b). 由罗尔定理得,至少存在一点ξ∈(a,b),使得F′(ξ)=0,即F′(ξ)=f′(ξ)-f(b)-f(a)b-a=0所以f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a注1该定理的辅助函数也可设为F(x)=f(x)-f(b)-f(a)b-ax. 注2f′(ξ)=f(b)-f(a)b-a称为拉格朗日中值公式.f(b)-f(a)b-a表示函数f(x)在闭区间［a,b］上整体变化的平均变化率,f′(ξ)表示开区间(a,b)内某点ξ处函数的局部(瞬时)变化率.于是,拉格朗日中值公式反映了可导函数在［a,b］上整体平均变化率与在(a,b)内某点ξ处函数的局部(瞬时)变化率的关系.因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带. 为了便于应用,拉格朗日中值公式常写成以下几种形式： (1) f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a),ξ∈(a,b)； (2) f(b)-f(a)=f′(a+θ(b-a))(b-a),0 (3) 若令Δx=b-a,上式还可变形为Δy=f(a+Δx)-f(a)=f′(a+θΔx)Δx,0 拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位,在某些问题中,当自变量x取得有限增量Δx而需要函数增量的准确表达式时,拉格朗日中值定理就突显出其重要价值. 注类似于罗尔定理,拉格朗日中值定理中的两个条件同样是缺一不可,否则定理的结论可能不成立. 例如，函数f(x)=|x|,x∈［-1,1］在x=0处不可导,则该函数的图形在x∈(-1,1)内没有平行于连接两端点直线的切线；函数f(x)=x,0≤x 0,x=1在x=1处不连续,不满足闭区间上函数连续的条件,该函数的图形在x∈(0,1)内任一点处的切线都不平行于两端点的连线. 由拉格朗日中值定理还可以得到两个重要结论. 推论3.1.1若函数f(x)在区间I内有f′(x)=0,则f(x)在I内为常数. 证在区间I上任取两点x1,x2,不妨设x1 由于函数f(x)在闭区间［x1,x2］上连续,在开区间(x1,x2)内可导,利用拉格朗日中值定理得f(x2)-f(x1)=f′(ξ)(x2-x1)由条件知f′(ξ)=0,所以f(x2)-f(x1)=0,即f(x2)=f(x1)因为x1,x2是区间I上的任意两点,所以f(x)在区间I内为常数. 推论3.1.2若函数f(x)在区间I内处处有f′(x)=g′(x),则f(x)-g(x)=C(C为任意常数). 例2证明arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1). 证设f(x)=arcsinx+arccosx,x∈\[-1,1\]，则该函数在［-1,1］上连续,且在(-1,1)内有f′(x)=11-x2-11-x2=0由推论3.1.1可得f(x)=C,x∈(-1,1).不妨选取x=0,则f(0)=arcsin0+arccos0=0+π2=π2即C=π2，且f(-1)=f(1)=π2,所以arcsinx+arccosx=π2(-1≤x≤1)例3证明当x>0时,x1+x 分析将x1+x 证设f(t)=ln(1+t),该函数在［0,x］上满足拉格朗日中值定理的条件,所以存在ξ∈(0,x),使得f(x)-f(0)x-0=f′(ξ)由于f(0)=0,f′(x)=11+x,则ln(1+x)x=11+ξ即ln(1+x)=11+ξx因为0 从拉格朗日中值定理可以得到，在开区间(a,b)内至少存在一点处的切线与两端点所在的直线平行.现假设函数Y=Y(X)由参数方程X=F(x) Y=f(x)(a≤x≤b)图3.1.4表示,如图3.1.4所示,其中x为参数.那么曲线上点(X,Y)处的切线斜率为dYdX=f′(x)F′(x)过端点直线斜率为f(b)-f(a)F(b)-F(a)那么根据拉格朗日中值定理结论得,至少存在一点ξ∈(a,b),使得f′(ξ)F′(ξ)=f(b)-f(a)F(b)-F(a)与这一事实相对应的是下述定理. 定理3.1.3(柯西中值定理)设函数f(x)和F(x)满足 (1) 在闭区间［a,b］上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) F′(x)≠0,x∈(a,b), 则至少存在一点ξ∈(a,b),使得f′(ξ)F′(ξ)=f(b)-f(a)F(b)-F(a)分析要证f′(ξ)F′(ξ)=f(b)-f(a)F(b)-F(a),即要证［f(b)-f(a)］F′(ξ)-［F(b)-F(a)］f′(ξ)=0所以我们希望构造一个辅助函数φ(x),使得它满足φ′(ξ)=［f(b)-f(a)］F′(ξ)-［F(b)-F(a)］f′(ξ)容易想到φ(x)=［f(b)-f(a)］F(x)-［F(b)-F(a)］f(x). 证作辅助函数φ(x)=［f(b)-f(a)］F(x)-［F(b)-F(a)］f(x)由于f(x)和F(x)在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,所以φ(x)满足条件: 在闭区间［a,b］上连续,在开区间(a,b)内可导,φ(a)=φ(b). 由罗尔定理可知,在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使φ′(ξ)=［f(b)-f(a)］F′(ξ)-［F(b)-F(a)］f′(ξ)=0(3.1.1)对于函数F(x)，利用拉格朗日中值定理，至少存在一点η∈(a,b)，使得F′(η)=F(b)-F(a)b-a又由于F′(x)≠0,x∈(a,b),所以F(b)-F(a)≠0,因此(3.1.1)式也可写成f′(ξ)F′(ξ)=f(b)-f(a)F(b)-F(a)注1定理证明中的辅助函数也可仿效拉格朗日中值定理的辅助函数进行构造,即φ(x)=f(x)-f(a)-f(b)-f(a)F(b)-F(a)［F(x)-F(a)］注2在定理中取F(x)=x,结果就是拉格朗日中值定理的结论,因此拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广. 以上三个中值定理因其在微分学中的重要地位,通常也将它们统称为微分中值定理.微分中值定理建立了函数增量、自变量增量与导数之间的联系.函数的许多性质可用自变量增量与函数增量的关系来描述,因此可用微分中值定理来研究函数变化的性质. 例4证明x>0时,ln(1+x)>arctanx1+x. 分析原式容易变形为(1+x)ln(1+x)arctanx>1,而(1+x)ln(1+x)arctanx=(1+x)ln(1+x)-(1+0)ln(1+0)arctanx-arctan0与柯西中值定理的形式是一致的. 证令f(x)=(1+x)ln(1+x),g(x)=arctanx,则f′(x)=1+ln(1+x)，g′(x)=11+x2由于f(x),g(x)满足柯西中值定理的条件,则f(x)-f(0)g(x)-g(0)=f′(ξ)g′(ξ)即(1+x)ln(1+x)arctanx=1+ln(1+ξ)11+ξ2=［1+ln(1+ξ)］(1+ξ2)因为ξ∈(0,x),所以［1+ln(1+ξ)］(1+ξ2)>1,故(1+x)ln(1+x)arctanx>1又由x>0,则ln(1+x)>arctanx1+x习题31 1. 验证罗尔定理对函数y=lnsinx在区间π6,5π6上的正确性. 2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间［0,1］上的正确性. 3. 验证柯西中值定理对函数f(x)=x3+2x2,g(x)=x2+2在区间［0,2］上的正确性. 4. 设f(x)=(x-2)(x+1)(x+2)(x+3),证明f′(x)=0有三个实根. 5. 设a0n+1+a1n+…+an=0,证明方程a0xn+a1xn-1+…+an=0在(0,1)内至少有一个实根. 6. 设函数f(x)在闭区间［a,b］上可导,证明: 存在ξ∈(a,b),使等式bf(b)-af(a)b-a=f(ξ)+ξf′(ξ)成立. 7. 证明下列等式： (1) 当x>0时,arctanx+arctan1x=π2； (2) 当x≥1时,arctanx-12arccos2x1+x2=π4. 8. 证明下列不等式： (1) |arcsinx-arcsiny|≥|x-y|； (2) |arctana-arctanb|≤|a-b|； (3) 当a>b>0时,a-ba (4) 当a>b>0,n>1时,nbn-1(a-b) (5) 当x>1时,ex>e·x. 9. 证明: 若函数f(x)在［a,b］上连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使得 f(ξ)-f(a)b-ξ=f′(ξ)(提示: 利用辅助函数F(x)=［f(x)-f(a)］(b-x).) 3.2洛必达法则3.2洛必达法则 在第1章学习无穷小的比较时我们已经知道,当x→a(或x→∞)时,如果f(x),g(x)都是无穷小量或无穷大量,那么它们之比的极限可能存在,也可能不存在.通常将这种极限称为00型未定式或∞∞型未定式.求此类极限不能直接运用商的极限运算法则.现在介绍解决这类极限问题的一种简便而重要的方法——洛必达法则.它是以导数为工具来研究未定式极限的重要方法,而柯西中值定理是建立洛必达法则的理论依据. 3.2.100型未定式 定理3.2.1设f(x),g(x)满足 (1) limx→a f(x)=0,limx→a g(x)=0； (2) f(x),g(x)在点a的某去心邻域U°(a)内可导,且g′(x)≠0； (3) limx→af′(x)g′(x)存在或为无穷大, 则limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)上述定理给出的这种在一定条件下通过对分子、分母分别先求导，再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 证因为极限limx→af(x)g(x)是否存在与f(a)与g(a)的取值无关,故可补充定义f(a)=g(a)=0于是由条件(1)可得 limx→af(x)=f(a),limx→ag(x)=g(a)所以函数f(x)与g(x)在点a处连续.又由条件(2)可得函数f(x)与g(x)在点a的某去心邻域U°(a)内连续,所以函数f(x)与g(x)在点a的某一邻域内是连续的. 取x∈U°(a),易知函数f(x)与g(x)在以点a及x为端点的闭区间上满足柯西中值定理的三个条件,因此存在ξ(ξ在a与x之间),使得f(x)g(x)=f(x)-f(a)g(x)-g(a)=f′(ξ)g′(ξ)由于ξ在a与x之间,根据夹逼准则,x→a时ξ→a,所以limx→af(x)g(x)=limξ→af′(ξ)g′(ξ)=limx→af′(x)g′(x)=A(或∞)注若limx→af′(x)g′(x)仍为00型,只要满足定理条件,可以继续使用洛必达法则，即limx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=limx→af″(x)g″(x)并可以依次类推. 例1求limx→π31-2cosxsinx-π3. 解limx→π31-2cosxsinx-π3=limx→π32sinxcosx-π3=2sinπ3cosπ3-π3=3. 例2求limx→0ex-x-1x2. 解limx→0ex-x-1x2=limx→0ex-12x=limx→0ex2=12. 对于x→a+,x→a-,x→∞,x→+∞,x→-∞情形的00型未定式,也有相应的洛必达法则.例如,当x→∞时，有如下定理. 定理3.2.2设f(x),g(x)满足 (1) limx→∞f(x)=0,limx→∞g(x)=0； (2) 对于充分大的|x|,f′(x)和g′(x)都存在且g′(x)≠0；