统计学核心方法及其应用

第 1 章 随机变量 1

1.1 随机变量概述 1

1.2 累积分布函数 1

1.3 概率函数与概率密度函数 2

1.4 随机向量 2

1.4.1 边缘分布 3

1.4.2 条件分布 4

1.4.3 贝叶斯定理 5

1.4.4 独立性和条件独立性 5

1.5 均值和方差 6

1.6 多元正态分布 8

1.6.1 多元t分布 8

1.6.2 正态随机向量的线性变换 8

1.6.3 多元正态条件分布 9

1.7 随机变量的变换 10

1.8 矩母函数 11

1.9 中心极限定理 11

1.10 切比雪夫不等式、大数定律与詹森不等式 12

1.10.1 切比雪夫不等式 12

1.10.2 大数定律 13

1.10.3 詹森不等式 13

1.11 统计量 14

1.12 习题 14

第 2 章 统计模型与统计推断 16

2.1 简单统计模型的几个例子 17

2.2 随机效应和自相关 19

2.3 推断问题 21

2.4 频率论方法 22

2.4.1 点估计：极大似然 22

2.4.2 假设检验与p值 23

2.4.3 区间估计 27

2.4.4 模型检测 28

2.4.5 进一步的模型比较、AIC与交叉验证 29

2.5 贝叶斯方法 30

2.5.1 后验众数 30

2.5.2 模型比较、贝叶斯因子、先验敏感度、BIC、DIC 30

2.5.3 区间估计 35

2.5.4 模型检测 35

2.5.5 与MLE的联系 35

2.6 设计 36

2.7 一些有用的关于单个参数的正态结果 37

2.8 习题 38

第 3 章 R 40

3.1 R 的基本结构 40

3.2 R 的对象 42

3.3 用向量、矩阵和数组进行计算 44

3.3.1 循环规则 44

3.3.2 矩阵代数 45

3.3.3 数组操作与apply 46

3.3.4 索引和分组 48

3.3.5 序列与网格 50

3.3.6 排序 51

3.4 函数 52

3.5 有用的内置函数 55

3.6 面向对象与类 56

3.7 条件执行与循环 58

3.8 调用编译代码 61

3.9 好的实践与调试 62

3.10 习题 63

第 4 章 极大似然估计理论 66

4.1 期望对数似然的性质 66

4.2 极大似然估计的一致性 68

4.3 极大似然估计的大样本分布 68

4.4 广义似然比统计量的分布 69

4.5 正则条件 71

4.6 AIC：赤池信息量准则 71

4.7 习题 73

第 5 章 数值极大似然估计 74

5.1 数值*优化 74

5.1.1 牛顿法 74

5.1.2 拟牛顿法 79

5.1.3 内尔德-米德多面体法 82

5.2 R中的似然极大化示例 83

5.2.1 极大似然估计 84

5.2.2 模型检验 86

5.2.3 进一步推断 87

5.3 具有随机效应的极大似然估计 88

5.3.1 拉普拉斯近似 88

5.3.2 EM算法 89

5.4 R随机效应极大似然估计示例 91

5.4.1 直接拉普拉斯近似 92

5.4.2 EM优化 94

5.4.3 基于EM的牛顿优化 97

5.5 计算机求导 99

5.5.1 数值代数 100

5.5.2 有限差分 100

5.5.3 自动微分 102

5.6 寻找目标函数 108

5.7 处理多模态 111

5.8 习题 112

第 6 章 贝叶斯计算 114

6.1 近似积分 114

6.2 马尔可夫链蒙特卡罗 115

6.2.1 马尔可夫链 116

6.2.2 可逆性 116

6.2.3 Metropolis Hastings方法 117

6.2.4 为什么Metropolis Hastings方法可行 117

6.2.5 Metropolis Hastings的一个小例子 118

6.2.6 设计建议分布 120

6.2.7 吉布斯采样 120

6.2.8 吉布斯采样的小例子 121

6.2.9 吉布斯例子的核心 123

6.2.10 吉布斯采样的局限性 124

6.2.11 随机影响 124

6.2.12 检查收敛性 124

6.3 区间估计和模型对比 127

6.4 一个MCMC的例子：藻类生长 131

6.5 几何抽样与建立更好的分布 136

6.5.1 后验相关 136

6.5.2 维数带来的问题 138

6.5.3 基于近似后验正态的改进的分布 140

6.5.4 藻类种群例子的改进的建议分布 140

6.6 图模型与自动吉布斯采样 145

6.6.1 建造采样器 146

6.6.2 BUGS和JAGS 148

6.6.3 JAGS藻类种群实例 150

6.6.4 JAGS混合模型实例 152

6.6.5 JAGS海胆生长实例 155

6.7 习题 157

第 7 章 线性模型 158

7.1 线性模型理论 159

7.1.1 β的*小二乘估计 159

7.1.2 β的分布 *** 161

7.1.3 ( βi βi)/ σ βi～tn p 161

7.1.4 F-ratio结果 162

7.1.5 影响矩阵 163

7.1.6 残差*******和拟合值 μ 164

7.1.7 线性模型的几何形式 164

7.1.8 X的结果 165

7.1.9 互动和可识别性 165

7.2 R中的线性模型 167

7.2.1 模型公式 169

7.2.2 模型检测 170

7.2.3 预测 173

7.2.4 解释、相关性和混杂 174

7.2.5 模型比较与选择 176

7.3 扩展 177

7.4 习题 180

附录 A 一些分布 182

附录 B 矩阵运算 187

附录 C 随机数生成 199

参考文献 205