数学简史

　　[数学简史]埃及和巴比伦时期　　在阿默士为我们揭示埃及人的四则运算的那本书中，也有关于几何学的章节——简单曲面区域的确定，并附有图形，这些图形不是直线就是圆形，其中有等腰三角形、长方形、等腰梯形和圆形。矩形的面积是正确确定的，还有底边为a腰为b的等腰三角形的面积的量度为12ab，对于上底和下底分别为a′和a″，腰为b的等腰梯形，面积的表达式为12（a′+a″）b。这些近似的公式被广泛使用，并且显然被认为是完全正确的。其中还有圆的面积，以及异常精确的π=1692=3.1605。　　在几何构造问题中，一个突出的问题是它的实际重要性，即布置一个直角。这个问题的解决方法，在庙宇和宫殿的建造中是非常重要的，它属于索具的职业。他们用绳把绳结分成三段（也许与数字3，4，5对应），形成一个毕达哥拉斯三角形。　　在巴比伦人当中，具有宗教意义的人物的建造促使一种正式的占卜几何学形成，它能识别三角形、四边形、直角、带有内接正六边形的圆，并将圆周划分为360°，以及一个值π=3。　　在阿默士的著作中，人们可以找到一些立体测量的问题，例如测量粮仓的容积，但由于没有说明仓库的形状，因此从他的陈述中得到的信息并不多。　　在投射方面，埃及的墙壁雕塑没有任何透视知识的证据。例如，在平面图中画了一个方形池塘，但里面图中增加了站在岸边的树木和抽屉，就像是从外面来的一样。　　三、第二阶段 希腊　　在对希腊几何学的研究中，到处都会出现这样的情况，仿佛这些研究以一种非常简单的方式与希腊人所不知道的著名定理联系在一起。至少它们似乎无法令人满意地建立起来，因为它们显然与其他事情无关。毫无疑问，造成这种情况的主要原因是古代数学家的一些重要著作丢失了。另一个同样重要的原因可能是口头传统传下了许多东西，而口头传统，由于大多数希腊活动所采用的僵硬和令人反感的方式，并不总是使所阐述的真理无可争辩。　　我们在泰勒斯（Thales）的著作中发现了埃及几何学的痕迹，但是我们不能期望在那里发现埃及人所知道的一切。泰勒斯提到了关于垂直角的定理，等腰三角形底角的定理，从一条边和两个相邻角确定三角形的定理，以及半圆角的定理。他知道如何通过比较物体的影子和放在物体影子末端的一根棍子的影子来确定物体的高度，从而可以在这里找到相似性理论的起源。在泰勒斯的理论中，要么根本没有这些定理的证明，要么是在后来没有严格要求的情况下提出的证明。　　在这方面，毕达哥拉斯和他的学派取得了重大进展。对他来说，毫无疑问的是，埃及“绳索担架”关于直角三角形的定理，他们在没有给出严格证明的情况下，知道了边为3，4，5的三角形。欧几里得定理是这个定理现存得*早的证明。在其他问题上，毕达哥拉斯自己和他的学生各有困难。勾股定理证明了平面三角形的角之和是两个直角。他们知道黄金分割，也知道正多边形，因为它们构成了五个规则体的边界。此外，人们还知道普通的星形多边形，至少是星形五边形。在毕达哥拉斯的面积的定理中，日晷起着重要的作用。这个词*初指的是垂直的标尺，它的影子表示时间，后来机械地表示直角。在毕达哥拉斯学派中，日晷是一个正方形从另一个正方形的角上取下后留下的图形。后来，在欧几里得经过类似的处理之后，日晷是一个平行四边形。毕达哥拉斯学派把垂直于一条直线的线称为“根据日晷指针指向的直线”。　　但是几何知识已经超出了毕达哥拉斯学派的研究。据说阿纳克萨哥拉斯（Anaxagoras）是**个试图确定面积的平方等于一个给定圆的面积的人。值得注意的是，像他的大多数继承者一样，他相信解决这个问题的可能性。赛诺皮德斯展示了如何从点到线绘制垂线以及如何在线的点上画出一个给定的角度。埃利斯的希比阿斯也同样寻求圆的求方，后来他尝试了一个角度的三等分，并为此构造了四边形。　　这条曲线描述如下：在被两个垂直半径OA和OB切断的圆周的一个象限上，存在点A，…K，L，…B。半径r=OA，以O点为圆心从OA位置均匀旋转到OB位置。同时，始终平行于OA的直线g以匀度从OA位置移动到B处与圆相切的位置。如果K′是移动半径落在OK上时g与OB的交点，那么过K′作与OA平行的直线OK交于割圆曲线上的一点K″。如果P是OA与割圆曲线的交点，那么部分直接满足，部分出于简单的考虑，它会满足：　　arcAKarcAL=OK″OL′　　这是一个能解决任何角截面问题的关系式。进一步得到，　　OP=2rπ，或OPOA=OAarcAB′　　由此可见，圆对求方取决于半径OA被割圆曲线的P点分割的比率。如果用初等几何构造这个比值，圆的求方就会受到影响。似乎割圆曲线*初是为了三分角而发明的，它与圆的求方之间的关系后来才被发现，正如斯特拉图斯所发现的那样。　　……