奥秘神奇的数学王国

　　《奥秘神奇的数学王国》：　　人类**个认识的数系，就是常说的“自然数系”。但是，随着人类认识的发展，自然数系的缺陷也就逐渐显露出来。首先，自然数系是一个离散的、而不是稠密的数系，因此，作为量的表征，它只能限于去表示一个单位量的整数倍，而无法表示它的部分。同时，作为运算的手段，在自然数系中只能施行加法和乘法，而不能自由地施行它们的逆运算。这些缺陷，由于分数和负数的出现而得以弥补。有趣的是这些分数也都带有强烈的地域特征。巴比伦的分数是六十进位的，埃及采用的是单分数，阿拉伯的分数更加复杂：单分数、主分数和复合分数。这种繁复的分数表示必然导致分数运算方法的繁杂，所以欧洲分数理论长期停滞不前，直到15世纪以后才逐步形成现代的分数算法。与之形成鲜明对照的是中国古代在分数理论上的卓越贡献。原始的分数概念来源于对量的分割。但是，《九章算术》中的分数是从除法运算引入的。中国古代分数理论的高明之处是它借助于“齐同术”把握住了分数算法的精髓：通分。而分数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种运算是封闭的。为了使得减法运算在数系内也通行无阻，负数的出现就是必然的了。盈余与不足、收入与支出、增加与减少是负数概念在生活中的实例。　　负数虽然通过阿拉伯人的著作传到了欧洲，但16世纪和17世纪的大多数数学家并不承认它们是数，或者即使承认了也并不认为它们是方程的根。如丘凯和斯蒂费尔都把负数说成是荒谬的数，是“无稽之零下”。卡丹把负数作为方程的根，但认为它们是不可能的解，仅仅是一些记号；他把负根称作是虚有的。韦达完全不要负数，巴斯卡则认为从O减去4纯粹是胡说。负数是人类**次越过正数域的范围。在数系发展的历史进程中，现实经验有时不仅无用，反而会成为一种阻碍。　　无理数的发现经历了一个漫长的过程。古希腊人把有理数视为是连续衔接的，然而，一条直线上的有理数尽管是“稠密”，但是它却露出了许多“孔隙”，而且这种“孔隙”多得“不可胜数”。15世纪，达·芬奇把它们称为“无理的数”，开普勒称它们是“不可名状”的数。这些“无理”而又“不可名状”的数，虽然在后来的运算中渐渐被使用，但是它们究竟是不是实实在在的数，却一直是个困扰人的问题。中国古代数学在处理开方问题时，也不可避免地碰到无理根数。对于这种“开之不尽”的数，《九章算术》直截了当地“以面命之”予以接受，刘徽注释中的“求其微数”，实际上是用10进小数来无限逼近无理数。　　17-18世纪微积分的发展几乎吸引了所有数学家的注意力，恰恰是人们对微积分基础的关注，使得实数域的连续性问题再次凸显出来。因为，微积分是建立在极限运算基础上的变量数学，而极限运算，需要一个封闭的数域。无理数正是实数域连续性的关键。法国数学家柯西给出了回答：无理数是有理数序列的极限。然而按照柯西的极限定义，所谓有理数序列的极限，指预先存在一个确定的数，使它与序列中各数的差值，当序列趋于无穷时，可以任意小。1872年，克菜因提出了著名的“埃尔朗根纲领”，维尔斯特拉斯给出了处处连续但处处不可微函数的著名例子。同时，实数的三大派理论：戴德金“分割”理论、康托的“基本序列”理论以及维尔斯特拉斯的“有界单调序列”理论在德国出现。实数的三大派理论本质上是对无理数给出严格定义，从而建立了完备的实数域。实数域的构造成功，使得两千多年来存在于算术与几何之间的鸿沟得以完全填平，无理数不再是“无理的数”了。　　……