复变函数与积分变换

第2版前言 第1版前言 第l章 复数 1.1 复数的定义及其四则运算 1.1.1 复数的定义 1.1.2 复数的四则运算 1.2 复数的几何表示 1.2.1 复数的三角形式 1.2.2 复数的开方 1.2.3 复数的指数形式 1.2.4 共轭复数 1.2.5 球极投影 1.3 平面点集的复数表示 1.3.1 平面曲线 1.3.2 平面区域 1.4 复变函数 1.4.1 复变函数的定义 1.4.2 复变函数的分量表示 习题1 第2章 解析函数的微积分 2.1 复变函数的极限和连续性 2.1.1 复数列的极限 2.1.2 复变函数的极限和连续性 2.2 复变函数的导数和解析函数 2.2.1 复变函数的导数 2.2.2 Cauchv-Riemann方程 2.2.3 解析函数 2.2.4 解析函数的判定定理 2.3 初等函数 2.3.1 指数函数 2.3.2 对数函数 2.3.3 三角函数 2.3.4 幂函数 2.3.5 反三角函数 2.3.6 双曲函数 2.4 复变函数的积分 2.4.1 复积分 2.4.2 复积分与路径的关系 2.5 Cauchy型积分公式 2.5.1 Cauchy积分定理 2.5.2 Cauchy积分公式 2.5.3 Cauchy高阶导数公式 2.6 调和函数 2.6.1 调和函数与共轭调和函数 2.6.2 极值原理和Liouville定理 习题2 第3章 解析函数的级数理论与留数定理 3.1 复数项级数与幂级数 3.1.1 复数项级数 3.1.2 幂级数 3.1.3 幂级数的和函数 3.2 Taylor级数 3.2.1 Taylor级数定理 3.2.2 初等函数的Taylor级数 3.2.3 解析函数的零点 3.3 Laurent级数 3.3.1 Laurent级数的定义和Laurent级数定理 3.3.2 Laurent级数的计算 3.4 孤立奇点 3.4.1 孤立奇点的定义与分类 3.4.2 解析函数在孤立奇点的极限 3.4.3 解析函数在无穷远点的奇性 3.5 留数定理 3.5.1 函数在孤立奇点的留数 3.5.2 复积分的留数定理 3.5.3 函数在无穷远点的留数 3.6 留数定理在计算实积分中的应用 3.6.1 三角函数的定积分 3.6.2 有理函数的广义积分 3.6.3 有理函数的Fourier变换型积分 3.6.4 其他类型积分计算举例 3.7 幅角原理与Rouche定理 3.7.1 幅角原理 3.7.2 Rouce定理及其应用 习题3 第4章 积分变换 4.1 Fourier变换 4.1.1 Fourier变换的定义 4.1.2 Fourier变换的性质 4.1.3 Fourier逆变换 4.2 Dirac-Delta函数与广义函数 4.2.1 Dirac-Delta函数 4.2.2 弱极限与试验函数 4.2.3 广义函数的平移、反射和乘子 4.2.4 广义函数的导数和Fourier变换 4.3 Laplace变换 4.3.1 Laplace变换的定义与性质 4.3.2 Laplace逆变换 4.3.3 有理函数的Laplace逆变换 4.4 积分变换在求解线性微分方程中的应用 4.4.1 利用Laplace变换求解线性常微分方程 4.4.2 利用Fourier变换求解微分方程 习题4 第5章 共形映照 5.1 导数的几何意义与共形性 5.1.1 曲线间的夹角和映射的伸缩率 5.1.2 解析函数导数的几何意义 5.1.3 共形映照 5.2 分式线性变换 5.2.1 扩充复平面上的圆 5.2.2 分式线性变换及其共形性 5.2.3 保圆性、保域性和保对称点性 5.2.4 两个常用的分式线性变换 5.3 初等函数的共形性 5.3.1 幂函数 5.3.2 指数函数与对数函数 5.4 单连通区域到上半平面或单位圆域的共形映照 5.4.1 角形区域到上半平面或单位圆域的共形映照 5.4.2 带形区域到上半平面或单位圆域的共形映照 5.4.3 两段圆弧围成的有界区域到上半平面的共形映照 5.4.4 扇形区域到上半平面或单位圆域的共形映照 5.4.5 一般区域到单位圆域的共形映照 习题5 习题答案与提示 参考文献