混沌理论

　　《混沌理论（百科通识文库）》：混沌对统计估计构成了新的挑战，但是，看待这些挑战应该通盘考虑统计学家数百年来所应对的问题。分析出自模型本身的时间序列时，我们可以从统计的角度和良好统计实践的基本法则中收获不少洞见。然而物理学家在比较混沌模型和真实世界观测结果的时候，面临“苹果和橘子”的难题；这将统计的角色置于相对陌生的语境中。对混沌系统的研究已经阐明了情势究竟有多晦暗不明。即便是在如何根据带噪声的观测结果估计某一系统现行状态的问题上，都存在着分歧，这一点甚至在我们还未开始前就对是否能够作出预报造成了阻碍。若是这个领域取得了进步，则一系列迥然相异的议题，从预见明天的天气到影响50年后气候的变化，都会结出果实。极限的统计和统计的极限试考虑估计某个特定的统计量，比如全人类的平均身高。在“全人类”的人口定义问题上可能出现分歧（于2000年1月1日在世的人口？今天在世的人口？所有曾经活在这个世界上的人口？……），但我们还不必为此分神。既然这一人口当中每个成员的身高切实存在，那么一个明确的数值便也切实存在，我们只是不知道这个值是什么。取自样本人口的平均身高称为样本均值。尽管统计学家在该数值与期望的所有人口均值的关系问题上存在意见分歧，所有人即都认可这个值。（嗯，是几乎所有人都认可。）但是，样本李雅普诺夫指数则不同。我们尚不清楚混沌的样本指数是否可以通过任何合理的方式独一无二地加以定义。这里面有若干原因。首先，计算分形维数、李雅普诺夫指数等混沌的统计量需要取的极限长度小到难以觉察，极限时间间隔则无限长。这样的极限不可能依据观测结果得出。其次，混沌研究已经为我们提供了根据数据制作模型的新方法，这些方法无需准确说明究竟是如何建模的。不同的统计学家根据同一数据集可能得出大相径庭的样本统计，这一点使混沌的统计大大有别于样本均值。混沌改变了“优质”的含义许多模型都含有“自由”参数，也就是说，我们尚不知道准确数值的不同于光速、冰点这样的参数。那么，在模型中我们怎样给出参数的*优值呢？如果模型的目的是为了作出预报，要是某个其他的参数值能够提供更好的预报，我们为什么要采用来自实验室或某个基本理论的数值呢？为混沌系统建模甚至已迫使我们重新评估，并且可以说重新定义“更佳”这个词。在弱版本的完美模型情景中，该模型与生成数据的系统有着别无二致的数学结构，只是我们不知道“真”参数值是什么。假设我们知道数据是由“逻辑斯谛映射”生成的，却不知道α值。在此例中，有一个相当明确的“*优”：生成了数据的参数值。如果拥有一个观测不确定性的完美噪声模型，考虑到过去带噪声的观测结果，我们如何才能提取可用于明天的*优参数值呢？倘若模型为线性，则几个世纪以来的实践和理论知识表明，*优参数是其预测*接近目标的值。这里我们得小心，不要过度调整模型，以免新的观测结果无法使用，但这个问题是统计学家早已熟知的。只要模型是线性的，且观测噪声得自钟形分布，我们便有一个本能地具有吸引力的标的，也就是，极小化预报与目标之间的距离。距离是以通常的*小二乘法定义的：基于状态每一分量中差的平方和。随着数据集的增大，估计的参数值会越来越靠近生成数据的参数值；当然，这是在假设线性模型确实生成了数据的情况下。但是，倘若模型为非线性呢？遇到非线性的情况，我们几个世纪以来积累的直觉即使算不上是障碍，也可说是干扰。*小二乘法甚至会害得我们偏离正确的参数值。未能就这一简单事实作出应对，这对科学建模产生的负面影响可没法轻描淡写地蒙混过去。……