线性代数

第 1 章 行列式??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1
1．1 行列式的概念????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1
1．1．1 二阶行列式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????1
1．1．2 三阶行列式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3
1．1．3 n 阶行列式 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????3
习题 1．1??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5
1．2 行列式的性质????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????6
习题 1．2??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????8
1．3 克莱姆法则及应用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
1．3．1 克莱姆法则 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????9
1．3．2 运用克莱姆法则讨论齐次线性方程组的解 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????．10
习题 1．3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．11
复习题 1 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．12
本章知识精要 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．12
第 2 章 矩阵??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14
2．1 矩阵的概念????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．14
习题 2．1????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．16
2．2 矩阵的性质及运算??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．17
2．2．1 矩阵相等 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．17
2．2．2 矩阵的运算 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．18
2．2．3 矩阵的转置 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．22
2．2．4 方阵的行列式 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．24
习题 2．2????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．24
2．3 矩阵的初等变换与矩阵的秩??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．25
线性代数
VI
2．3．1 矩阵的初等变换 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．25
2．3．2 矩阵的秩 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．27
习题 2．3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．29
2．4 逆矩阵????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．30
2．4．1 逆矩阵的概念 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．30
2．4．2 逆矩阵的性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．30
2．4．3 逆矩阵的求法 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．31
2．4．4 用逆矩阵解线性方程组 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．34
习题 2．4????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．34
2．5 矩阵的应用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35
2．5．1 编制通信密码 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．35
2．5．2 投入产出分析 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．37
复习题 2 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．40
本章知识精要 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．42
第 3 章 线性方程组????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．44
3．1 向量组的线性相关性????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．44
3．1．1 n 维向量空间????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．44
3．1．2 线性相关性概念 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．45
3．1．3 线性相关性的判定 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．45
习题 3．1????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．47
3．2 向量组的秩与矩阵??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．48
3．2．1 极大线性无关向量组 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．48
3．2．2 向量组的秩 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．48
3．2．3 矩阵与向量组秩的关系 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．49
习题 3．2????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．49
3．3 线性方程组的解????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．50
3．3．1 消元法解线性方程组 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．50
3．3．2 线性方程组解的结构 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．53
习题 3．3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．54
3．4 应用??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．55
复习题 3 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．60
本章知识精要 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．61
第 4 章 相似矩阵??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．64
4．1 向量组的正交规范化????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．64
目 录
VII
4．1．1 向量内积及其性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．64
4．1．2 正交向量组及其性质 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．65
4．1．3 规范正交基及其求法 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．66
4．1．4 正交矩阵与正交变换 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．67
习题 4．1????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．69
4．2 方阵的特征值与特征向量????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．69
4．2．1 特征值与特征向量的概念 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．69
4．2．2 特征值与特征向量的基本性质 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
习题 4．2????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
4．3 相似矩阵的概念、性质及应用????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．72
4．3．1 相似矩阵的概念 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．73
4．3．2 相似矩阵的性质 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．73
4．3．3 矩阵与对角矩阵相似的条件 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．75
习题 4．3????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．77
4．4 实对称矩阵的性质与对角化??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．77
4．4．1 实对称矩阵的性质 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．77
4．4．2 实对称矩阵的对角化 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．78
习题 4．4????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．82
复习题 4 ????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．82
本章知识精要 ??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．83
附录 A 数学实验指导??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．84
附录 B 行列式数学实验常用指令????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????．99
附录 C 简单的线性规划问题????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????101
附录 D 习题参考答案??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????106
参考文献??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????114
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