随机切换系统的降阶方法研究

**篇 随机切换系统的性能分析 第1章　绪论 随着计算机、网络和通信等新一代信息技术的发展，混杂系统越来越被广泛应用于实际物理过程，以实现智能计算、通信与控制的深度融合及全系统的自治与协作。随机切换系统是一类特殊的混杂系统，可以有效地针对由环境的突变、零部件故障，甚至正常操作过程中人为因素等引起的系统突变现象进行建模，其研究在控制领域得到广泛关注。从数学模型角度分析，随机切换系统由一类具有多个连续时间的状态和决定各模态间如何切换的离散事件组成。该数学模型可建模一类实际物理对象具有多模态性质的动态系统，也可建模一类为提高系统性能而采取多控制器的控制系统，且广泛应用于电力系统、化工过程及航空航天系统等实际系统中。近年来，越来越多的研究者关注随机切换系统，大多数的研究成果集中于马尔可夫切换系统分析与综合，如系统镇定、滤波器设计、鲁棒控制和模型降阶等。本章首先从研究背景和国内外研究现状角度介绍这类特殊的动态系统。 1.1　研究背景和意义 近年来，国家经济发展及国家安全对控制系统的需求日益剧增，智能制造作为国家提升国际竞争力的核心技术应运而生。然而，先进的工业过程或经济领域，特别是智能电网、智能交通、化工系统以及航空航天系统等，面对的多是复杂的动态系统，往往需要面对复杂及突变的外部环境和数以万计的由执行器或者传感器组成的被控对象。这些复杂的智能系统在海量的控制系统约束下，在系统分析与综合过程中将面临复杂的系统设计、优化控制及仿真等问题，运算成本高甚至不能达到要求的性能。这些多目标且互相关联的大型智能控制系统，引起了控制领域的研究者对混杂系统的广泛关注。混杂系统本质上来说是一类由具有随时间连续变换的系统状态和驱动系统模态的离散事件两部分组成的复杂动态系统。值得提出的是，系统模态一般是由多个连续或者离散时间微分或者差分方程描述且其行为方式受离散事件驱动的动态环节。随机切换系统作为一类特殊的混杂系统，可以有效地针对由环境突变干扰、随机产生的故障或者内部部件故障，甚至正常操作过程中的人为因素等引起的随机切换现象进行建模和分析。该系统在智能控制领域中得到广泛关注，相关研究成果已广泛应用于工业制造、化工工程、飞行器设计和网络通信等领域。总之，不论是智能控制理论领域还是实际应用，以随机切换系统为研究对象，耗散性控制、控制器/滤波器设计、可达性以及可观性等智能控制问题亟待解决。 切换系统是从系统与控制论的角度研究的一类重要的随机切换系统，由若干个微分或者差分方程描述的子系统和决定这些子系统间如何切换的切换信号构成。近年来，切换系统相关的智能控制理论和切换思维已经成为国际控制理论研究领域的热门分支之一，且其相关结论已广泛应用于车辆控制、工业制造、电力系统等领域。切换系统理论研究的意义可总结为以下两个方面。 （1）可以有效地描述因环境突变、参数变化、外部干扰、零部件的损坏及系统时滞等引起的突变现象。这些突变现象的实质是多模态的，利用切换系统的子系统描述不同状态下的动态特性，使得系统可以在遭受突变时仍然满足需要的性能指标。也就是说，此类切换系统的切换动作取决于某时刻的切换信号，我们称此类切换系统为时间依赖切换系统。 （2）可以有效处理智能控制中多控制器切换现象。在混杂系统的镇定或者控制系统设计过程中，由于系统的复杂性以及不确定性，单一的控制器往往不能满足对系统性能指标的要求。也就是说，多控制器设计方法，可以根据不同的系统状态选择不同的控制器，从而能够有效地提高系统的性能，我们称此类切换系统为状态依赖切换系统。 综上所述，切换系统的理论或者切换思维不论是在控制理论方面还是在实际应用中均有重要的意义。 值得提出的是，切换系统的性能不仅依赖于系统的初始状态，还依赖于切换信号，在此以时间依赖切换系统为例说明：在系统以初始状态决定系统在某模态运行；若发生突变现象，在系统则以为初始状态在下一模态运行。切换系统的切换信号与突变情况发生的时间、持续的时间以及种类有关。实际工业过程中，可以通过经验或者大量统计得到不同突变情形（每种突变情形分别对应系统的某个模态）之间的逗留时间服从的某种概率分布。若两种模态之间的逗留时间服从指数分布，也就是系统模态之间的切换遵从马尔可夫过程，我们称该系统为马尔可夫切换系统。由于马尔可夫切换系统在经济系统、计算机和通信系统、太阳能接收器、航空系统控制及能源系统等领域具有广泛应用，使得马尔可夫切换系统的转移概率已知、部分可知及不确定情形下的系统分析与综合问题得到了广泛的讨论。 考虑马尔可夫切换系统，假设其逗留时间服从无记忆性的指数分布，意味着转移概率不依赖于逗留时间和过去的模态，即无后效性。而连续时间分布中指数分布是唯一具有无记忆性的分布，且实际应用中在这样理想的假设条件下得到的系统设计和综合的结论往往不能达到满意的性能，因此马尔可夫切换系统中对转移概率为时不变的假设条件限制了其在实际应用中的适用范围。而半马尔可夫切换系统放松了马尔可夫切换系统中的逗留时间服从指数分布的假设条件，可以为更一般的概率分布，如韦布尔（Weibull）分布、拉普拉斯（Laplace）分布、高斯（Gaussian）分布或者几种分布的混合等。这类概率分布不具有无记忆性，因此半马尔可夫切换系统的转移概率是依赖于逗留时间的时变矩阵，在如今的智能制造工业时代具有更高的实际应用价值。值得提出的是，马尔可夫切换系统与半马尔可夫切换系统虽然在系统建模中有相似之处，但是在智能控制过程中，由于对象的复杂性和性能指标的高要求，并不能将马尔可夫切换系统相关的结论直接应用到半马尔可夫切换系统的设计与控制中。半马尔可夫切换系统仍有很多复杂的问题亟待解决，仍是控制理论界较前沿的研究课题。 为了更好地说明随机切换系统的应用背景和意义，现举例说明。 1.1.1　实例1：RCL电路系统 考虑图1-1所示的RCL电路系统。　　图1-1　RCL串联电路 如图1-1所示，系统在两个模态之间切换，并且假设是随机切换的。用连续时间马尔可夫过程描述系统中两个模态之间的切换过程，那么随机变量的不同取值对应RCL电路中的不同位置。其中，表示电路中当前的电流，R为电阻，和分别表示通过电容和电感的电压，和分别表示相应的电感和电容系数，应用基尔霍夫定律得 令，那么此时RCL电路可以描述为 可见，N个位置切换的RCL电路系统可以建模为具有N个模态的马尔可夫切换系统，并且转移概率矩阵决定不同模态之间的切换。 1.1.2　实例2：直升机垂直起降模型 考虑航空航天工业中的直升机垂直起降模型。在该系统模型中，令x1、x2、x3和x4分别表示直升机的水平速度、垂直速度、俯仰角速度以及俯仰角，可以用以下微分方程描述直升机的垂直起降过程： 其中，为系统的状态向量；表示系统的外部输入；系统矩阵和依赖于随机变量，满足 也就是说，系统矩阵是根据直升机飞行海拔和速度时变的。其中，随机变量是具有右连续轨迹并且取值于有限集，分别对应3种不同的飞行速度：170knots、135knots和60knots。如果系统在某种模态的逗留时间服从指数分布，则直升机垂直起降模型建模为马尔可夫切换系统；如果逗留时间服从更一般的分布，则直升机垂直起降模型建模为半马尔可夫切换系统。 1.1.3　实例3：单链机器人手臂系统 考虑具有以下动态方程的单链机器人手臂系统： 其中，g表示重力加速度；M表示负载的质量；L表示机器人手臂的长度；为惯性矩；为黏性摩擦不确定系数；为机器臂的角位移；为外部干扰。 利用欧拉近似方法和得到以下连续系统： 其中，依赖于随机变量，不同模态之间的切换可以看作是马尔可夫过程。 此外，随机切换系统在智能交通、太阳能发电装置以及外汇交易的经济领域均有广泛的应用。由此可见，随机切换系统的分析与综合具有很大的实际应用价值。 1.2　研究现状 1.2.1　切换系统的稳定性分析 切换系统从控制理论数学模型上来看，是由有限个子系统和切换规则组成的。其与线性参数时变（linear　parameter　varying，LPV）系统或者时变系统的区别是在非常短的时间段内系统的状态产生变换的概率极小，且系统一旦发生切换，系统的状态将发生极大的变换。切换控制的思想早在经典控制理论和实际中得到应用，如处理非线性系统的方法还不完善，解决方法如下：①引入不确定性；②采用分段线性化方法，将非线性系统划分为多个线性系统；③采用多控制器对划分的多线性系统进行设计，得到更好的性能指标。为了处理非线性系统中的振荡现象，如伺服系统，采用“开”和“关”操作方法来处理系统的稳定性问题。航空航天领域的Bang-Bang控制原理，旨在设计一个控制器在可控输入上下界之间切换，从而实现飞行时间和燃料的*优控制。调和振荡器系统中的弹簧系统具有不确定性，系统的外部输入控制信号需要根据弹簧系统进行调整，其闭环系统被视为多控制器的切换系统。现代控制理论中的模糊控制和智能控制均是以切换系统控制理论为基础，产生和发展的先进控制理论。 系统稳定性问题是切换系统首要考虑的性能指标。需要注意的是，每个子系统均为稳定的，切换系统不一定稳定；每个子系统均不稳定，切换系统不一定不稳定。早在1991年Peleties和Decarlo就提出了3种情形下切换系统的稳定性分析：公共李雅普诺夫函数、多李雅普诺夫函数和参数依赖李雅普诺夫函数。文中提出了对任意快速切换序列的切换系统，若所有的子系统存在一个公共李雅普诺夫函数，沿着系统的状态和任意切换规则，函数都是递减的，那么系统是稳定的。由于找到这样一个公共的李雅普诺夫函数存在一定难度，因此该方法具有一定的局限性。Davrazos和Koussoulas和Abdallah等总结了几年来随机切换系统的稳定性分析问题，均提到多李雅普诺夫函数方法由于考虑了每个子系统的信息，尤其是当切换序列比较缓慢的情形，可以得到保守性更低的稳定性条件。从控制理论发展的角度出发，多李雅普诺夫函数方法能够将随机切换系统的控制方法扩展到更加复杂的马尔可夫切换系统情形，尤其是当转移概率部分可知时，可推广性强。近年来，切换系统的稳定性分析得到进一步发展和推广，研究学者提出了驻留时间的概念（即系统在某一个子系统停留的时间），并且证明了当驻留时间充分大时切换系统满足稳定性条件。其中值得提出的是，Zhai等考虑同时包含赫尔维茨稳定和不稳定的两种类型的子系统，将多李雅普诺夫函数和平均驻留时间方法结合给出了整个切换系统指数稳定的条件，并且将该结论应用到带非线性干扰的情形中。随机切换系统的研究涉及实际应用中的方方面面，控制理论研究趋于成熟，但是仍有很多新的创新型的问题提出。本书主要研究在模型降阶、降阶控制器及滤波器设计过程中，转移概率矩阵对降阶误差的影响，因此本书以任意切换的切换系统为切入点，尝试对现有的模型降阶方法进行创新和改进，进而应用到更加复杂的考虑转移概率信息的马尔可夫切换系统。 1.2.2　马尔可夫切换系统的研究现状 通过经验或者大量统计可以得到不同子系统或模态之间切换的概率，如不同模态之间切换的逗留时间服从指数分布（离散系统服从几何分布），那么该随机过程叫马尔可夫过程，系统叫马尔可夫切换系统。考虑以下连续时间马尔可夫切换系统模型： （1-1） 式中，为系统状态；为定义在上的外部输入控制向量；