近世代数与应用

第1章 集合论 集合论简称集论.这一数学分支是在19世纪初开始发展起来的.德国数学家康托尔(G.Cantor)是集合论的奠基人. 集合的概念在现实世界中有广泛的背景，每个人对集合都有一定的朴素印象.把人们直观上或思维上的那些确定的、与其他事物有明显区别的对象汇集在一起就可以说是一个集合. 集合论研究集合的性质、集合间的关系和运算等.集合论的概念和研究方法已经渗透到所有的数学分支，并且改变了它们的面貌. 本章主要对集合论作简单介绍. 1.1 基本概念 数学中的概念有两种定义形式.其中，一种概念可以用严格的数学逻辑形式来定义，称为可定义概念.另一种则不能用严格形式来定义，而只能用语言对它进行大致的描述，称为不可定义概念.集合便属于后一种.虽然我们不能给集合以确切的定义，但是一提到一个集合，我们便都清楚所指的是什么，这是因为所提集合中的事物都具有某种共同的性质. 定义1.1把具有某种共同属性的事物的全体称为一个集合. 通常用大写字母A，B，C， ，M等表示集合.集合中的每一个事物称为集合的元素.常用小写字母a，b，c， ，m等表示集合中的元素. 上面对集合给出了一个描述性的定义.在研究具体问题时，还需把集合具体表示出来.集合的常用表示法有三种. 列举法：把集合中的元素一一列举出来，两端用花括号括起来. 例1.1 小于5的所有非负整数组成的集合. 例1.2 全体正奇数集合. 描述法：若集合中元素x具有某种性质p(x)，可在花括号内用语言叙述，即表示成具有性质，简记为. 例1.3 全体有理数的集合. 例1.4 方程x2-1=0的解的集合. 图示法：文氏图是用图形表示集合*常见的方法.文氏图(或称维恩图)是以英国数学家John Venn的名字命名的，他在1881年介绍了这种图的使用.我们把所考虑的所有对象的集合记为U，U称为全集.在文氏图中，全集用长方形表示.在长方形内部，用圆或其他几何图形表示集合，用点来表示集合中的特定的元素.文氏图的优点是能形象和直观地表示集合与集合之间的关系. 下面的例子解释了怎样用文氏图表示集合. 例1.5 画一个表示英文字母中元音字母集合V的文氏图. 解此种情况下，可以认为全集U为考虑的所有26个英文字母组成的集合，画一个长方形表示全集U.在长方形内部画一个圆表示元音字母集合V，在圆中用点表示集合V的五个元素，参见图1.1. 图1.1 英文元音字母的文氏图 例1.6在有理数集合内讨论它的一些元素所成的集合，如自然数集合、整数集合、奇数集合、方程x2-1=0的解集等，都是一些有理数组成的集合.全体有理数构成的集合包含了我们所考虑对象的全体元素，在这个例子中的全集U就是所有有理数构成的集合. 例1.5和例1.6中的全集显然是不同的.因为我们总是在一定的环境中考虑全集，故全集的概念是相对的. 与全集相对应，一个不包含任何元素的集合称为空集合，简称空集，空集用ф来表示. 例1.7方程x2+1=0的实数解的集合便是空集. 注1所谓给出一个集合，就是规定了这个集合是由哪些元素组成的.并且对于任意一个元素a，都能明确判断a是这个集合的元素，或者a不是这个集合的元素，二者必居其一.注2集合里有若干相同的元素时，这些相同的元素只能算作一个，只用一个符号表示出来.例如，元素1在集合M中虽出现了三次，但元素1只能算作集合M的一个元素，通常写成. 注3在集合里，不考虑元素的顺序.例如，集合虽然元素顺序不同，但都认为是同一个集合. 注4对于某个元素a，由于a或者是集合A的元素，或者不是集合A的元素，元素与集合的这种关系称为从属关系. 若a是集合A中的元素，就说a属于A，记为a∈A.“∈”读作“属于”. 若a不是集合A的元素，就说a不属于A，记为a？A或.“？”或“∈”读作“不属于”. 例1.8A={x丨x是自然数}，则3∈A，10∈A，199∈A，而-5？A. 1.2 集合间的关系 集合之间也有许多特定的关系，下面分别讨论. 定义1.2如果集合A与B的元素相同，则称这两个集合是相等的.记为A=B，否则称这两个集合不相等，记为A6=B. 例1.9集合A={1，2}与集合B={x丨x是方程x2-3x+2=0的解}，有相同的元素，所以A=B. 例1.10集合A={1，2，3，4}与集合B={5，6，7，8}是两个不相等集合，即A≠B. 定义1.3设有集合A、B，若对于任一a∈A，都有a∈B，则称集合A是集合B的子集，我们说集合A包含于集合B，或者说B包含A，记为 读作包含于，读作包含. 若B∈A且有b∈B，b？A，则称A是B的真子集，或者说B真包含A，记为 B∈A或A∈B ∈读作真包含，∈读作真包含于.也可以记作或. 若A不包含于B，或者B不包含A，记作 A？B或B？A A是B的真子集的文氏图表示方法，如图1.2所示. 图1.2 A是B的真子集 下面再给出一个例子. 例1.11设A={a，b，b，c}，B={a，b，c}，则A=B；设A={1，2，3， ，100}，则A∈N且有A∈N(这里N是全体自然数组成的集合)；设B={x>0}，则A∈B且有A∈B. 下面的几个结论都比较明显. 定理1.1 对任意集合A，必有ф∈A. 证明假设A不包含ф，按照符号∈的定义，则至少存在一个元素x，x∈ф；且x？A，但ф中没有元素，故x？ф这与空集中没有元素相矛盾，这个矛盾说明必有，证毕. 定理1.2 对任意集合A，都有U∈A. 证明因为对于任意x∈A，都有x∈U，所以A∈U. 定理1.3 对任意集合A，必有. 证明将上面的两个定理合在一起便知. 定理1.4 设有集合A、B，则A=B的充要条件是A.B且B.A. 证明设A∈B且B∈A.假设A？B，由定义1.2可知，A与B的元素不相同，那么存在元素x属于A，而x不属于B或者存在元素y属于B，而元素y不属于A.不失一般性设为前者，即x∈A，x？B；但由于A∈B，故当x∈A时必有x∈B，与x？B矛盾，这个矛盾表明A=B. 设A=B.若A∈B和B∈A至少有一个不成立；不妨设B∈A不成立，则必至少存在一个x∈A且，这与A=B是矛盾的，故A∈B且B∈A成立，证毕. 1.3 集合的运算 集合的运算就是从已知的集合产生新的集合的方法. 1.3.1 集合的基本运算 定义1.4由集合A、B的所有元素合并组成的集合称为集合A与B的并集，记作A∈B.即 图1.3的文氏图表示了集合A和集合B的并集，代表集合A的圆圈和代表B的圆圈内的阴影区域表示A和B的并集. 图1.3 集合A与B的并集 例1.12 若A={a，b，c，d}，B={c，d，e}，则 例1.13 A={xjx是有理数}，B={x丨x是无理数}，C=AB={x丨x是实数}. 注5两个集合的公共元素在并集中只能出现一次. 定义1.5由集合A、B所有的公共元素所组成的集合称为集合A与B的交集，记作 A∈B.即 图1.4的文氏图表示了集合A和集合B的交集，代表集合A的圆圈和代表B的圆圈内公共的阴影区域表示A和B的交集. 图1.4 集合A与B的交集 例1.14 若A={1，2，3，4}，B={2，4，6，8}，则A∈B={2，4}. 例1.15 若A={x丨x>3}，B={x丨x}，则 定义1.6集合A、B若满足，则称A、B是分离的，也称A、B不相交. 例1.16 A={1，2，3}，B={a，b，c}，则，即A与B是分离的. 定义1.7由集合A、B中所有属于A而不属于B的元素所组成的集合称为A与B的差集，记作A.B，A和B的差集，也称为B对于A的补集.即 图1.5的文氏图表示了集合A和集合B的差集，在代表集合A的圆圈内部和代表B的圆圈外的阴影区域表示A和B的差集. 图1.5 集合A与B的差集 例1.17 A={a，b，c，d}和B={b，c，e}，则A.B={a，d}，B.A={e}. 定义1.8 全集U与其子集A的差集称为集合A的补集，记作A，于是A=U-A. 图1.6 中代表集合A的圆圈外面的阴影区域表示A. 图1.6 集合A的补集 例1.18 设U={0，1，2，3， }，A={0，2，4，6， }，则 定义1.9 集合A、B的对称差记作A-B，定义为 例1.19 A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则 前面我们定义了两个集合的交集.两个集合的交集是由两个集合中公共元素组成的集合.而对称差与之正好相反，它恰是去掉两个集合的所有公共元素，由剩下的所有元素组成的集合. 下面介绍几个集合运算的重要公式. 定理1.5对于任意的集合A、B，有 证明A∈A[B，B∈AB显然成立.其次，如果x∈AB，则x∈A且x∈B，故且，证毕. 定理1.6若，则. 证明设x∈AB，则x∈A或x∈B.若x∈A，则由A∈B可知x∈B，总之有AB∈B.根据定理1.5有B∈AB，故AB=B.同理AB∈A，证毕. 定理1.7设A、B为任意集合，则有 证明x∈A.B，x∈A且x？B，且x∈B，故 设x∈A.B，即x2A且，故必有x=2AB，因此x2[A.(A\B)]，即 又设，则x∈A且x？AB，即x∈A且；即x∈A且或x∈B](注：(A∈B)=A后面将介绍).但x∈A且x∈A是不可能的，故只能有x∈A且x∈B.即x∈A-B，从而得到A-(A∈B)∈A-B.因此