微积分和数学分析引论第二卷第一分册,第二分册

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作者：R.柯朗等著；林建祥等

出版社：科学出版社

本类榜单：自然科学

分类：自然科学 > 数学

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ISBN：9787030085405
装帧：一般胶版纸
册数：暂无
重量：暂无
开本：其他
页数：838
出版时间：2022-08-01
条形码：9787030085405 ; 978-7-03-008540-5

内容简介

《微积分和数学分析引论.第二卷》系统地阐述了微积分学的基本理论。在叙述上，作者尽量作到既严谨而又通俗易懂，并指出概念之间的内在联系和直观背景。原书分两卷，**卷为单变量情形，第二卷为多变量情形。　　第二卷中译本分为两册出版。《微积分和数学分析引论.第二卷》是第二卷**分册，包括前三章。第—章详论多元函数及其导数，包括线性微分型及其积分，补充了数学分析中*基本的概念的严密证明；第二章在线性代数方面为现代数学分析的基础准备了充分的材料；第三章叙述多元微分学的发展及应用，包括隐函数存在定理的严密证明，多元变换与映射的基本理论，曲线、曲面的微分几何基础知识以及外微分型等基本概念。原书有练习解答，分别编入各分册。　　译者（按内容顺序)：邵士敏、周建堂、张锦炎（**章)、刘婉如（第二章)、林建详、张顺燕、朱德威（第三章)、林源渠（解答)。

目录
**章多元函数及其导数 1
1.1 平面和空间的点和点集 1
a.点的序列:收敛性 1
b.平面上的点集 3
c.集合的边界.闭集与开集 5
d.闭包作为极限点的集合 7
e.空间的点与点集 8
练习1.1 9
问题1.1 9
1.2 几个自变量的函数 10
a.函数及其定义域 10
b.*简单的函数 11
c.函数的几何表示法 11
练习1.2 13
1.3 连续性 14
a.定义 14
b.多元函数的极限概念 16
c.无穷小函数的阶 18
练习1.3 20
问题1.3 22
1.4 函数的偏导数 22
a.定义.几何表示 22
练习1.4a 25
问题1.4a 27
b.例 27
c.偏导数的连续性与存在性 29
练习1.4c 30
d.微分次序的改变 31
练习1.4d 33
问题1.4d 34
1.5 函数的全微分及其几何意义 34
a.可微性的概念 34
练习1.5a 37
问题1.5a 37
b.方向导数 37
练习1.5b 39
c.可微性的几何解释.切平面 40
练习1.5c 42
d.函数的微分 42
练习1.5d 45
e.在误差计算方面的应用 45
练习1.5e 46
1.6 函数的函数(复合函数)与新自变量的引入 46
a.复合函数.链式法则 46
练习1.6a 50
问题1.6a 51
b.例 51
c.自变量的替换 53
练习1.6c 55
问题1.6c 56
1.7 多元函数的中值定理与泰勒定理 57
a.关于用多项式作近似的预备知识 57
练习1.7a 58
b.中值定理 58
练习1.7b 59
问题1.7b 60
c.多个自变量的泰勒定理 60
练习1.7c 62
问题1.7c 62
1.8 依赖于参量的函数的积分 63
a.例和定义 63
b.积分关于参量的连续性和可微性 65
练习1.8b 70
c.积分(次序)的互换.函数的光滑化 70
1.9 微分与线积分 72
a.线性微分型 72
b.线性微分型的线积分 75
练习1.9b 80
c.线积分对端点的相关性 80
1.10 线性微分型的可积性的基本定理 83
a.全微分的积分 83
b.线积分只依赖于端点的必要条件 84
c.可积条件的不足 85
d.单连通集 88
e.基本定理 90
附录 92
A.1 多维空间的聚点原理及其应用 92
a.聚点原理 92
b.柯西收敛准则.紧性 93
c.海涅–博雷尔覆盖定理 94
d.海涅–博雷尔定理在开集所包含的闭集上的应用 95
A.2 连续函数的基本性质 96
A.3 点集论的基本概念 97
a.集合与子集合 97
b.集合的并与交 99
c.应用于平面上的点集 101
A.4 齐次函数 103
第二章向量、矩阵与线性变换 105
2.1 向量的运算 105
a.向量的定义 105
b.向量的几何表示 106
c.向量的长度，方向夹角 108
d.向量的数量积 111
e.超平面方程的向量形式 113
f.向量的线性相关与线性方程组 115
练习2.1 120
2.2 矩阵与线性变换 121
a.基的变换，线性空间 121
b.矩阵 125
c.矩阵的运算 128
d.方阵.逆阵.正交阵 130
练习2.2 135
2.3 行列式 136
a.二阶与三阶行列式 136
b.向量的线性型与多线性型 139
c.多线性交替型.行列式的定义 142
d.行列式的主要性质 146
e.行列式对线性方程组的应用 150
练习2.3 151
2.4 行列式的几何解释 155
a.向量积与三维空间中平行六面体的体积 155
b.行列式关于一列的展开式.高维向量积 161
c.高维空间中的平行四边形的面积与平行多面体的体积 163
d.n 维空间中平行多面体的定向 168
e.平面与超平面的定向 171
f.线性变换下平行多面体体积的改变 172
练习2.4 173
2.5 分析中的向量概念 175
a.向量场 175
b.数量场的梯度 176
c.向量场的散度和旋度 179
d.向量族.在空间曲线论和质点运动中的应用 181
练习2.5 184
第三章微分学的发展和应用 187
3.1 隐函数 187
a.一般说明 187
练习3.1a 187
b.几何解释 188
练习3.1b 189
c.隐函数定理 189
练习3.1c 192
d.隐函数定理的证明 193
练习3.1d 195
e.多于两个自变量的隐函数定理 196
练习3.1e 197
3.2 用隐函数形式表出的曲线与曲面 197
a.用隐函数形式表出的平面曲线 197
练习3.2a 201
b.曲线的奇点 202
练习3.2b 204
c.曲面的隐函数表示法 204
练习3.2c 206
3.3 函数组、变换与映射 208
a.一般说明 208
练习3.3a 211
b.曲线坐标 211
练习3.3b 213
c.推广到多于两个变量的情形 213
练习3.3c 215
d.反函数的微商公式 216
练习3.3d 218
e.映射的符号乘积 221
练习3.3e 223
f.关于变换及隐函数组的逆的一般定理.分解成元素映射 224
练习3.3f 228
g.用逐次逼近法迭代构造逆映射 229
练习3.3g 234
h.函数的相依性 234
练习3.3h 236
i.结束语 236
练习3.3i 238
3.4 应用 238
a.曲面理论的要素 238
练习3.4a 246
b.一般保角变换 247
练习3.4b 249
3.5 曲线族、曲面族，以及它们的包络 249
a.一般说明 249
练习3.5a 251
b.单参量曲线的包络 251
练习3.5b 254
c.例 254
练习3.5c 259
d.曲面族的包络 260
练习3.5d 262
3.6 交错微分型 263
a.交错微分型的定义 263
练习3.6a 266
b.微分型的和与积 266
练习3.6b 268
c.微分型的外微商 268
练习3.6c 272
d.任意坐标系中的外微分型 272
练习3.6d 280
3.7 *大与*小 280
a.必要条件 280
b.例 282
练习3.7b 284
c.带有附加条件的*大与*小 285
练习3.7c 288
d.*简单情形下不定乘数法的证明 288
练习3.7d 290
e.不定乘数法的推广 291
练习3.7e 294
f.例 294
练习3.7f 297
附录 299
A.1 极值的充分条件 299
练习A.1 303
A.2 临界点的个数与向量场的指数 305
练习A.2 311
A.3 平面曲线的奇点 312
练习A.3 314
A.4 曲面的奇点 314
练习A.4 314
A.5 流体运动的欧拉表示法与拉格朗日表示法之间的联系 315
练习A.5 316
A.6 闭曲线的切线表示法与周长不等式 316
练习A.6 318
第四章多重积分 319
4.1 平面上的面积 319
a.面积的若尔当测度的定义 319
b.一个没有面积的集合 322
c.面积的运算法则 322
练习4.1 324
4.2 二重积分 325
a.作为体积的二重积分 325
b.积分的一般分析概念 326
c.例 329
d.记号、推广和基本法则 331
e.积分估计与中值定理 332
4.3 三维及高维区域上的积分 334
4.4 空间微分、质量与密度 335
4.5 化重积分为累次单积分 336
a.在矩形上的积分 336
b.积分交换次序.积分号下求微分 338
c.在更一般的区域上化二重积分为单重积分 340
d.在多维区域中的推广 343
4.6 重积分的变换 345
a.平面上的积分的变换 345
b.高于二维的区域 349
练习4.6 350
4.7 广义多重积分 352
a.有界集上函数的广义积分 353
b.广义积分一般收敛定理的证明 356
c.无界区域上的积分 359
练习4.7 361
4.8 在几何中的应用 362
a.体积的初等计算 362
b.体积计算的一般性附注.旋转体在球坐标系中的体积 364
c.曲面的面积 365
练习4.8 372
4.9 在物理中的应用 373
a.矩和质心 373
b.惯性矩 376
c.复合摆 377
d.吸引质量的势 379
练习4.9 383
4.10 在曲线坐标中的重积分 385
a.重积分的分解 385
b.应用到移动曲线扫过的面积和移动曲面扫过的体积.古鲁金公式.配极求积仪 388
4.11 任意维数的体积和曲面面积 392
a.高于三维的曲面面积和曲面积分 392
b.n 维空间中的球体面积和体积 394
c.推广.参数表示 397
练习4.11 400
4.12 作为参数的函数的广义单积分 401
a.一致收敛性.对参数的连续依赖性 401
b.广义积分对参数的微分法和积分法 403
c.例 406
d.菲涅耳积分值的计算 411
练习4.12 411
4.13 傅里叶积分 413
a.引言 413
b.例 415
c.傅里叶积分定理的证明 417
d.傅里叶积分定理的收敛速度 421
e.傅里叶变换的帕塞瓦尔等式 423
f.多元函数的傅里叶变换 425
练习4.13 431
4.14 欧拉积分(伽马函数)431
a.定义和函数方程 431
b.凸函数.波尔– 摩尔路波定理的证明 433
c.伽马函数的无穷乘积 437
d.延拓定理 440
e.贝塔函数 442
f.分数次微商和积分，阿贝尔积分方程 444
练习4.14 446
附录积分过程的详细分析 448
A.1 面积 448
a.平面的分划和相应的内、外面积 448
b.若尔当可测集及其面积 450
c.面积的基本性质 451
A.2 多元函数的积分 455
a.函数f(x， y)的积分的定义 455
b.连续函数的可积性与在集合上的积分 457
c.重积分的基本法则 459

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节选

**章多元函数及其导数在**卷中曾讨论过的极限、连续、导数和积分等概念，同样也是二元或多元函数的基本概念.然而，有很多在一元函数理论中并不存在的新的现象，必须在多维中加以讨论.通常一个定理只要对于两个变量的函数可以证明它，那么在证明中不需要作任何本质的改变，就容易推广到多于两个变量的函数中去.因此，在以后的论述中我们常限于讨论两个变量的函数，其中各种关系都比较容易用几何图形来显示，而只当由此得到一些另外的见解时，才对三个或更多个变量的函数加以讨论;所得结果也同样可以作简单的几何学的解释. 1.1 平面和空间的点和点集 a.点的序列:收敛性在一个笛卡儿平面坐标系中，一对有顺序的数值(x，y)在几何上可以用一个点P来表示，这个点的坐标为x和y.两点P=(x，y)与P′=(x′，y′)之间的距离可以由公式求得.这是欧几里得几何学的基本公式.我们利用距离的概念可以定义一个点的邻域.一个点C=(α，β)的ε邻域是由所有那些与C的距离小于ε的点P=(x，y)构成的;从几何学上说，这是一个以C为中心、以ε为半径的圆盘1)，它可用不等式来描述.我们考虑无穷的点序列. 例如Pn=(n，n2)定义了一个序列，其中所有的点都在抛物线y=x2上.一序列中的点并不一定都不相同.例如，无穷序列只有两个不同的元素. 如果能找到一个圆盘，它包含所有的Pn，也就是说，如果存在一个点Q与一个数M，使得对所有的n都有PnQ　　与序列有关的*重要的概念是收敛的概念.我们说，一个点序列P1，P2，收敛到一个点Q，或limPn=Q，是指距离PnQ收敛到零.这样，limPn=Q就意味着对于每一个ε>0，都必然存在一个数N，使对于所有n>N，Pn都在Q的ε邻域内1).举一个例子.对于由定义的点序列，我们有limPn=(0，0)=Q，因为，在这里. 我们指出，Pn是沿着极坐标方程为r=e.θ/4的对数螺线趋于原点Q的(见图1.1). 图1.1 收敛序列Pn 点序列Pn=(xn，yn)收敛到点Q=(a，b)意味着，两个数序列xn与yn分别收敛，且. 诚然，PnQ很小隐含着xn.a与yn.b都很小，因为;反之，从而当xn→a与yn→b时有PnQ→0. 如同数序列的情形一样，我们可以利用柯西的内在收敛判别法来证明一个点序列收敛，而不需要知道它的极限值.这个判别法，在两维中断言:一个点序列Pn=(xn，yn)是收敛的必要充分条件是，对每一个ε>0，不等式PnPm　　b.平面上的点集在讨论单变量x的函数时，我们常允许x在一个“区间”内变化，区间可以是闭的或开的，可以是有界的或无界的.而对于高维空间中的函数所可能取的区域而言，必须考虑更多种类的集合，并且必须引进描述这些种类集合的简单性质的一些述语.在平面中我们通常考虑的可以是曲线也可以是二维区域.平面曲线在**卷第四章中已广泛地讨论过.通常它们可以用“非参数”形式的一个函数y=f(x)给出，或者用“参数”形式的一对函数给出，或者用一个隐式方程F(x，y)=0给出(在第三章中我们将更多地讲到隐式表示法). 除曲线之外，我们还有组成一个区域的二维点集.这个区域可以是整个xy平面，或者是由一简单闭曲线围成的一部分平面(在这种情况下，形成一个单连通区域如图1.2所示)，或者是由几个这类曲线围成的一部分平面.在后一种情况下，我们称之为多连通区域，边界曲线的数目就叫做连通数;例如图1.3就表示一个三连通区域.一个平面集合也可以是全然不连通的1)，而是由几个分离部分组成的(图1.4). 图1.2 单连通区域图1.3 三连通区域图1.4 非连通区域一般说来，要考虑的区域的边界曲线都是逐段光滑的，亦即每一个这样的曲线是由有限个弧组成的，每一段弧上所有的点，包括端点在内，都有一个连续转动的切线.因此，这样的曲线至多也只有有限个角. 在绝大多数情况下，我们用一个或多个不等式来描述一个区域，而在边界的一些部分保持等号.有两种*重要的区域形式是经常遇到的:一个是矩形区域(其各边平行于坐标轴)，一个是圆盘.矩形区域(图1.5)是由这样一些点(x，y)构成的，它们的坐标满足不等式a　　显然，对于S中任一个点P，我们可以找到一个以P=(α，β)为中心的小圆盘，它全部包含于S之中;我们只需要取一个P的ε邻域，其中ε为足够小的正值，使. 这表明在这里S的每一个点都是内点.S的边界点P是那些刚好位于矩形的一个边上或一个角上的点.在**种情况下，P的每一个足够小的邻域一半属于S，一半不属于S;在第二种情况下，每一个邻域的四分之一属于S而四分之三不属于S(图1.7). 图1.7 矩形区域的内点A、外点D和边界点B，C 根据定义，集合S的每一个内点P必须是S的点，这是因为存在P的一个邻域，它的点全部都是S的点，而P又属于这个邻域.同样，S的任何一个外点明确地不属于S.另一方面，一个集合的边界上的点，有时属于有时不属于这集合1). 开矩形并不包含其边界点，而闭矩形则包含其边界点. 一般说来，我们称一个点集S是开的，如果S的边界点都不属于S(亦即，如果S由其全部内点组成).S叫做闭的，如果它包含它的边界.对于任何一个集合S，我们总可以把一切原先并不属于S的那些边界点加到S上而得到一个闪集.这样我们就得到一个新的集合，称为S的闭包S.读者可以容易地证明，S的闭包是一个闭集.外点是那些不属于S的闭包的点.同样地，我们可以定义S的内点组成的集合为S的内部S0，这个集合可以从S中减去全部边界点而得到.S的内部是开的.

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