矩阵论

第1章线性空间 线性空间是矩阵论*基本的概念之一，它是研究客观世界中线性问题的重要工具。本章将从线性空间的基本概念入手，给出线性空间的相关理论。 1.1预备知识 1.1.1映射 定义1　设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素x，按对应法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作 其中y称为元素x（在映射f下）的像，并记作f（x），即 而元素x称为元素y（在映射f下）的一个原像；集合X称为映射f的定义域，记作Df，即Df=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域，记作Rf或f（X），即 映射定义中有两个基本要素:定义域Df=X和对应法则f。定义域表示映射存在的范围；对应法则是原像与像之间的对应方法，是映射的具体表现。因此，若两个映射f与g的定义域相同，对应法则也相同，则称映射f与g相等，记作f=g。一般要证明两个映射f与g相等，只需证出以下两点即可。 （1）定义域相同，即Df=D9g； （2）对应法则相同，即对，有f（x）=g（x）。 例1　设A为某大学某班全体学生构成的集合，设每位学生的学号均由一个8位正整数构成；B为正整数集合，φ为将学生对应到自己的学号，按照定义，φ就是一个从A到B的映射。 例2　设集合A由两个红球和一个黑球构成，即A=f红1球，红2球，黑球g，集合B由一个红筐和一个黑筐构成，即B=f红筐，黑筐g，f表示将集合A中的球对应到集合B中相同颜色的筐中，按照定义，f就是一个从A到B的映射。 从以上两个例题中可以看出，例1中两个不同的学生对应的学号也不同，即不同的原像对应着不同的像，例2中两个不同的球，红1球和红2球对应着B中同一个筐，即有两个不同的原像对应了同一个像。一般地，若映射f满足“不同的原像一定对应着不同的像”，则称f为单射。因此，例1中映射φ为单射，而例2中的映射f不是单射。 例1中集合B中有的8位正整数由映射φ能够在集合A中对应原像，还有很多集合B中的正整数不能在集合A中对应原像。例2中集合B中每个元素，由对应法则f都能在集合A中找到原像，或者说值域充满了集合B，这样的映射f称为满射。一般地，若映射f:X!Y满足Rf=Y，则映射f称为满射。 既是单射，又是满射的映射称为双射（也称为一一映射）。 1.1.2乘积映射 设X，U，Y是3个非空集合，有映射与，由映射，对与x对应，再由映射（其中，表示“存在唯一的”）。 综上，对与x对应，这个对应关系，构成了一个从X到Y的新映射，称这个新映射为f与g的乘积映射（也称为g与f的复合映射），记作，即 其中称为中间元素。 由乘积映射的定义易见，对于两个映射f与g，当且仅当时，才能作乘积映射fg（g与f才能作复合映射）。当有意义时，不一定有意义，反之，当有意义时，也不一定有意义；当它们都有意义时与也不一定相等，即映射的乘法运算不满足交换律。 映射的乘积虽然不满足交换律，但满足结合律。若f，g与h是3个映射，且运算与均有意义，则有成立。 读者可以将乘积映射（复合映射）的概念推广到3个或3个以上映射相乘（复合）。 1.1.3逆映射 设X是非空集合，若映射将集合X中的每个元素映成这个元素本身，则称映射f为集合X上的单位映射（也称恒等映射），记作IX。 设X，Y是两个非空集合，设有映射，若存在映射使且成立，则称f是可逆映射，且称g为f的逆映射，记作。 由逆映射的定义易见，若映射将集合X中的元素a映成集合Y中的b，则必定将集合Y中的元素b映成集合X中的a。 定理1　映射可逆的充分必要条件为f是一一映射。 证明略。 1.1.4数域 定义2　设F是复数集的非空子集，其中，如果F中任意两个数的和、差、积、商（除数不为0）仍是F中的数，则称F为数域。 若数集P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，我们称数集P对这个运算是封闭的，因此数域的定义也可以理解成:如果数集P包含0和1，且对加法、减法、乘法和除法（除数不为0）均封闭，那么数集P就是一个数域。 我们常用的数域有:有理数域Q、实数域R、复数域C。自然数集N和整数集Z对除法运算不封闭，不能构成数域。 例3　证明集合构成数域。 证明　显然是复数集的非空子集，其中。 *后指出数域的一个重要性质:有理数域是任何数域的子集。事实上，设P是一个数域，由定义，12P，再由P对加法封闭，则1+1=2，2+1=3，均属于P，即P包含全体自然数；又由，P对减法封闭，则，即P包含全体整数；再由任何一个有理数可以表示成两个整数的商及P对除法的封闭性可得，任何有理数均属于P，上述结论正确。 1.1.5实矩阵和复矩阵 在大学本科阶段的线性代数课程中，我们学习的矩阵一般是定义在实数域上的矩阵，本书后面一些章节中讨论的矩阵是定义在复数域上的矩阵，下面我们来讨论实矩阵和复矩阵的一些相同点和差异。 具有如下性质: （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 只有1行的实矩阵，称为（实）行向量，只有1列的实矩阵，称为（实）列向量。只有1行的复矩阵，称为（复）行向量，只有1列的复矩阵，称为（复）列向量。 对列向量 且满足以下结论： （1）若A为对称阵，则仍为对称阵，当A可逆时，仍为对称阵。 （1）若A为Hermite阵，则，AT，An仍为Hermite阵，当A可逆时，A-1仍为Hermite阵。 （2）若A，B均为对称阵，则k1A+k2B仍为对称阵。其中k1，k2为常数。 （2）若A，B均为Hermite阵，则k1A+k2B仍为Hermite阵，其中k1，k2为常数。 （3）任何一个方阵A均可写成一个对称阵M和一个反对称阵N之和，其中 （3）任何一个方阵A均可写成一个Hermite阵M和一个斜Hermite阵N之和，其中 （4）两个对称阵的乘积，不一定是对称阵。若A，B均为对称阵，则AB仍对称的充分必要条件为AB=BA。 （4）两个Hermite阵的乘积，不一定是Hermite阵。若A，B均为Hermite阵，则AB仍为Hermite阵的充分必要条件为AB=BA。 （5）对称阵的特征值必为实数，反对称阵的特征值为0或纯虚数；对称阵和反对称阵的不同特征值对应的特征向量是正交的；对称阵和反对称阵必能正交相似于对角阵。 （5）Hermite阵的特征值必为实数，斜Hermite阵的特征值为0或纯虚数；Hermite阵和斜Hermite阵的不同特征值对应的特征向量是正交的；Hermite阵和斜Hermite阵必能正交相似于对角阵。 若实方阵A满足ATA=E，则称A为正交矩阵，简称正交阵。 （1）正交阵A必可逆，且A-1=AT； （2）正交阵的行列式为1或-1； （3）若A为正交阵，则A-1，A+，AT，Ak仍为正交阵； （4）两个正交阵相乘仍为正交阵，相加未必； （5）若A为n阶正交阵，X，Y为n维列向量，则 即酉阵乘向量，不改变向量的长度和夹角； （6）正交阵的特征值是模长为1的复数； （7）A为正交阵，A列向量标准正交，A行向量标准正交。 若复方阵A满足AHA=E，则称A为酉矩阵，简称酉阵。 （1）酉阵A必可逆，且A-1=AH； （2）酉阵的行列式是模长为1的复数； （3）若A为酉阵，则A-1，A+，AT，Ak仍为酉阵； （4）两个酉阵相乘仍为酉阵，相加未必； 即正交阵乘向量，不改变向量的长度和夹角； （5）若A为n阶酉阵，X，Y为n维列向量，则 （6）酉阵的特征值是模长为1的复数； （7）A为酉阵，A列向量标准正交，A行向量标准正交。 设A，B为实方阵，若存在可逆阵P，使得B=PTAP成立，则称A与B合同，P称为由A到B的合同变换矩阵。 设A，B为复方阵，若存在可逆阵P，使得B=PHAP成立，则称A与B合同，P称为由A到B的合同变换矩阵。 设A，B为实方阵，若存在可逆阵P，使得B=P。1AP成立，则称A与B相似，P称为由A到B的相似变换矩阵。 设A，B为复方阵，若存在可逆阵P，使得B=P-1AP成立，则称A与B相似，P称为由A到B的相似变换矩阵。 设A，B为实方阵，若存在正交阵P，使得B=P-1AP=PTAP成立，则称A与B正交相似。正交相似既是相似变换，也是合同变换。 设A，B为复方阵，若存在正交阵P，使得B=P-1AP=PHAP成立，则称A与B酉相似。酉相似既是相似变换，也是合同变换。 在本科线性代数课程中，我们一般只对实矩阵讨论特征值、特征向量、相似对角化等问题。在本课程中对复方阵也同样讨论以上问题。设A为n阶复方阵，X为复n维非零列向量，λ是复数，若AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X为矩阵A属于特征值λ的特征向量。称λE。。A为矩阵A的特征矩阵，为矩阵A的特征多项式，特征多项式的根就是矩阵A的特征值。复矩阵的特征值与特征向量的性质与计算，与实矩阵相同，这里就不多赘述了。 若方阵A能与对角阵相似，则称方阵A可对角化，或称方阵A为单纯矩阵。若复方阵A满足AAH=AHA，则称A为正规矩阵。显然，实矩阵中的对称阵、