高等数学 上册(第二版)

第1章 函数、极限与连续 在自然界以及人类社会的生产生活中，运动和变化无处不在，因而刻画这种运动和变化的量与量之间依赖关系的数学概念——函数，也就无处不在.函数是被广泛应用的数学概念之一.在高等数学中，函数处于基础的核心地位，是本课程要系统研究的对象，其中的连续函数则是重点研究的一类函数.极限是研究函数的一个有效的方法和手段，我们将以极限为工具研究函数的各种性质，这种思想和方法贯穿了高等数学的始终，并对其他学科的学习也有着深远的影响.因此，可以说，函数、极限和连续是高等数学的基础. 本章将在复习中学有关函数内容的基础上，进一步介绍函数的定义域、分类及其性质，特别是三角函数与反三角函数等，并重点介绍函数的极限、连续等有关内容. 1.1 集合 有关集合的内容，在中学已经有了初步的了解，在此，我们给以简单的回顾. 1.1.1 集合的概念 1.集合及其表示法 集合是数学上*基本的概念，难以给出确切的概念，一般地，把具有某种特定性质的事物所组成的全体称为集合，如： (1)大于6的所有正实数的集合; (2)抛物线上的点构成的集合; (3)2021年河南省高考招生录取的全日制本科生. 组成集合的各个事物称为该集合的元素.一般地，用大写字母A，B，C， 来表示集合，用小写字母a，b，c， 表示集合中的元素.若事物a是集合A的一个元素，记作a∈A(读作a属于A);若事物a不是集合A的一个元素，记作或a∈A(读作a不属于A);集合有时也简称为集. 集合按照元素的个数分为有限集和无限集，若集合中只有有限个元素，就称该集合为有 限集;否则称为无限集.不含任何元素的集合称为空集，记作. 在数学上，表示集合的方法有列举法和描述法两种:列举法就是列出集合中的全体元素，并写在一个大括号内.如有限集合A={a1，a2， ，an}，自然数集N={0，1，2， ，n， };描述法则是用如下形式表示一个集合:A={x|x所具有的特征}，即有此性质的必在A中，且A中的元素必须有此性质，如，B={x|x为河南科技大学2022级学生}. 2.数集 元素是数的集合称为数集.我们在中学学习过的数集有全体自然数集，记作N，全体整数集，记作Z，即x∈N或;全体有理数集，记作Q，即，p与q互质;全体实数集，记作R，即R={x|x为有理数或无理数}等. 对于数集，有时我们在表示数集的字母的右上角标上“+”或“.”来表示该数集中的所有正数或所有负数构成的特殊数集.如R+表示全体正实数构成的集合，R.表示全体负实数构成的集合. 注 本书中所考虑的集合若无特殊说明均指的是实数集. 3.集合之间的关系 若集合A的元素都是集合B的元素，即若有x∈A，必有x∈B，就称A为B的子集，记为A.B或B.A(读B包含A).若A为B的子集，但B中至少一个元素不属于A，称A为B的真子集，记为A.B，或.若且，则称A与B相等，记作A=B. 集合之间显然有下列关系. (1); (2)且. 1.1.2集合之间的运算 给定两个集合A，B，定义如下几种运算. (1)并集由包含于A或包含于B的所有元素构成的集合称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，即或; (2)交集由同时包含于A与B的元素构成的集合称为集合A与集合B的交集，记作A∩B，即; (3)差集由属于A但不属于B的所有元素构成的集合称为集合A与集合B的差集，记作 (或A-B)，即; (4)余集设U是一个特定的集合，若A.U，称此时U\A为A关于U的余集(补集)，记作; (5)直积，表示由横坐标属于集合A，纵坐标属于集合B的平面上的点所构成的集合，如R×R表示由整个平面上的点构成的集合. 设A，B，C为任意三个集合，则有下列运算法则成立. (1)交换律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A; (2)结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C); (3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)，(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C); (4)对偶律(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc. 以上运算法则均可根据集合相等的定义验证，读者可独立验证，在此省略. 1.1.3 区间和邻域 区间和邻域是高等数学中用得较多的一类数集. 1.区间 设a，b为实数，并满足a　　(a，b)={x|a0.数集称为点x0的δ邻域(neighborhood) (图1.1)，记为U(x0，δ)，x0为该邻域的中心，δ为该邻域的半径. 图1.1 可见，而该区间的长度为. 在后续应用时，需要把邻域的中心去掉，故称数集为x0的去心δ邻域，或x0的空心δ邻域，记作，此时.为方便，有时把开区间称为点x0的左δ邻域，而把开区间(x0，x0+δ)称为x0的右δ邻域. 注 在应用时如果不强调邻域的中心，可以把以x0为中心，δ为半径的邻域简记作. 习题1.1 1.如果A={x|34}，求： (1)A∪B; (2)A∩B. 2.用区间表示下列邻域： (1)U(0，1); (2); (3); (4). 1.2 函数及其特性 映射和函数的有关概念在中学大家已经有所了解，特别是中学学习过的许多函数及其性质在高等数学中也将频繁出现，下面我们简单回顾一下这一部分知识，以便大家能更好地学习高等数学. 1.2.1 映射 1.映射的概念 设两个集合X，Y，f是一个对应法则.若对x∈X，按照对应法则f，有唯一的y∈Y与x对应，则称f是X到Y的一个映射.记为f:X→Y，元素y称为元素x在映射f下的像，记作y=f(x). 如图1.2所示. 图1.2 元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集f(X)={f(x)|x∈X}称为f的值域，一般地，值域. 在映射的定义中，应注意 (1)任何一个映射都必须具备三要素：定义域、对应法则、值域; (2)元素x的像y是唯一的，但y的原像不一定唯一. 2.一一映射 设f是集合X到集合Y的映射. (1)若值域f(X)=Y，则称f为满射.例如，映射f(x)=x+sinx是R到R的一个满射. (2)若.，均有，则称映射f为单射.例如，f(x)=x+3是R到R的一个单射. (3)若f既是满射又是单射，则称f为双射或一一映射.例如，f(x)=cosx是[0，π]到[-1，1]的一一映射. 注意，在数学中，映射又称为算子，根据集合X，Y的不同情形，映射又有不同的名称，如从赋范线性空间X到数集Y的映射称为X上的泛函，而从非空集合X到自身的映射称为X上的变换. 3.逆映射和复合映射 1)逆映射 若映射f:X→f(X)为单射，则存在一新映射使y∈f(X)，有，其中f(x)=y，称此映射f-1为f的逆映射，习惯上y=f(x)，x∈X的逆映射记，如，其逆映射为. 2)复合映射 设有两个映射，其中，则由映射g和f可以定义一个从X→Y的对应法则，它将.x∈X映成f[g(x)]∈Y，称此对应法则为X→Y的复合映射，记作y=f[g(x)]或.如y=sin2x就是由y=u2和u=sinx复合而成的. 注 构成复合映射的条件不可少.以上定义也可推广到多个映射的情形. 1.2.2 函数 1.函数概念 在生产实践和科学研究中，会遇到各种各样的量.在某个问题的研究过程中，保持不变的量称为常量;可以取不同数值的量称为变量，函数就是刻画变量之间相互依赖关系的数学模型，如半径为r的球的体积为，当r在[0，+∞)上取值时，由公式可得相应的V的值.公式给出了变量V与变量r之间相互依赖的一个函数关系.一般地，我们有如下定义. 定义1 设D是给定的非空数集，则称映射(对应法则)f:D→R为定义在D上的函数.记为y=f(x)，x∈D，其中，数集D称为函数f的定义域，记作Df，x称为自变量，y称为因变量.当自变量取x0∈D时，与x0对应的变量y的值称为y=f(x)在x0的函数值，记作y=f(x0)或y|x=x0.当自变量x取遍D中的每一个值时，所得到的因变量y的所有值的全体:{y|y=f(x)，x∈D}称为函数y=f(x)的值域，记作f(D)或Rf.如函数y=sinx，其定义域D=R，而其值域Rf=[.1，1]. 定义2 平面上的点集C={(x，y)|y=f(x);x∈D}.D×f(D)称为函数f的图形. 有关函数概念我们作以下几点说明. (1)函数记号中的“f”也可用其他符号表示，如可用φ，g等表示，此时函数记作y=φ(x)，y=g(x)等. (2)由函数概念可以看出，函数的对应法则和定义域是确定一个函数的两大要素.若两个函数的定义域相同，对应法则也相同，则不论用什么样的函数记号，它们都表示同一个函数，如y=x，s=t是同一个函数，而y=x，y=(√x)2是两个不同的函数，因它们的定义域不同. (3)一般地，由数学式子表示的函数，其定义域是使数学式子有意义的自变量所构成的集合，如函数y=1x的定义域是为(-∞，0)∪(0，+∞).若由实际问题确定的函数，应根据它的实际意义确定它的定义域. 例1求函数的定义域. 解 要使函数有意义，需有，故函数的定义域为D=(-2，2). 例2 试判断函数f(x)≡1与是否为同一个函数？ 解由于f(x)≡1的定义域为的定义域为，因此不是同一个函数. 例3已知函数，求及，并写出定义域及值域.解，定义域D=[0，+∞)，值域f(D)=[0，+∞). 2.函数的表示法 为了更好地研究函数关系，我们通常用以下三种方法来表示函数. (1)公式法(解析法) 就是用数学式子表示函数的方法，如等.解析法的优点在于能具体运算，便于从理论上研究函数，它是研究函数的*基本的方法. 图1.3 (2)图像法 就是通过自变量x与对应的函数值所组成的有序数对(x，y)在坐标平面上描出相应的点所形成的轨迹来表示函数.它所表达的对应规律一般以曲线形态出现，一目了然，非常直观.如某地某日的气温T和时间t是两个变量，由气温自动记录仪描绘一条曲线(图1.3)，这个图形表示了气温T(℃)和时间t(h)之间的函数关系，记录的时间范围是[0，24).图像法的优点在于可以借助直观图形去了解函数的性质. (3)表格法 就是把自变量x与因变量y的对应数据列成表格，它们之间的函数关系从表格上一目了然.表格法的优点在于可以方便地从表格中查找所需的数据.例4某大型超市2021年**季度某个品牌小麦面粉的零售量(kg)如下表: