变分方法与交叉科学

第1章 绪论 1.1 变分原理——自然法则 变分原理是自然界事物遵从的客观法则. 世界是由物质组成的， 万物处于永不停息的运动中. 运动是物质的根本属性和存在方式. 运动自然地和力及能量紧密联系. 运动的能量泛函的变分对应着事物的 Lagrange 方程， 即所谓的数学模型，它描述事物的状态， 诸如存在性、演化性等等. 简约地， 这些关系可如下勾画: 因此， 变分理论是研究事物的重要方法. 变分学历史悠久. 早在 16 世纪， Bernoulli 兄弟就注意到并提出了*速降线问题， Euler 首先详细地阐述了这个问题， 赋予了这门学科名字“变分原理”. 史上许多大数学家都在这一领域做出了非常大的贡献， 如 Cauchy， Lagrange， Newton，Leibniz， Poincaré 和 Hilbert 等等. 毫不夸张地说， 变分学是含着金钥匙出生的， 它激励着数学的发展——助力经典理论、孕育新的学科. 特别， 如实分析 (Lebesgue 测度和积分)、泛函分析 (强 (弱)拓扑、单调算子、Sobolev 空间)、偏微分方程 (椭圆型方程， 存在性和正则性)、几何变分 (测地线、极小曲面、调和映射， Finsler 几何: 代表人物有 Garding， Vishik，Agmon， Douglise， Nirenberg， De Giorgi)、几何测度 (极小子流形: 代表人物有 J.Nash)、变分不等式 (自由边值问题: 代表人物有 J. Moser， Stampacchia， Lions，Ladyzenskaya Uraltseva)、优化控制 (代表人物有 R. Bellman， L. S. Portryagin，J. L. Lions)、大范围变分 (临界点理论、Morse 理论、Floer 同调、辛容量)、有限元方法等等. 变分学的发展犹如奔腾不息的江河延绵不绝， 对科学特别是自然科学发挥着重要的作用. 譬如， 物理学中的变分问题: Newton 方程、Hamilton 系统、Maxwell方程 (电磁场)、Einstein 方程 (重力场)、Yang-Mills 方程 (规范场); 几何学中的变分问题: 测地线、极小曲面、调和映射; 其他学科如: Dirchlet 原理、电流分布、Riemann 映射定理、Weierstrass 反例、Schwarz 方法、Neumann 方法、Poincaré 方法. 1990 年， Hilbert 在国际数学家大会上宣布著名的 23 个数学问题中有 3 个涉及变分问题， 即第 19 (正则性)、第 20 (存在性)、第 23 (发展变分理论). 1.2 交叉科学 前述例子及大量的事实让人们看到， 变分学在交叉科学研究中发挥着十分重要的作用. 以往人们常常谈交叉学科， “所谓交叉学科是指自然科学和社会科学相互交叉地带生长出的一系列新生学科”(钱学森)， 通常指两个或多个学科之间跨学科的综合研究， 是不同领域和不同学科在认识世界过程中， 用不同角度和方法为解决共同问题产生的学科交融， 经过反复论证和试验而形成的新的科学领域. 20 世纪下半叶， 各类交叉学科的应用和兴起为科学发展带来了一股新风， 许多科学前沿问题和多年悬而未解的问题在交叉学科的联合攻关中都取得了可喜的进展. 随着越来越多交叉学科的出现及其在认识世界和改造世界中发挥作用的不辩事实， 交叉学科在科学领域中的生产力得到了充分的证明. 交叉科学则是指更为广泛的科学交叉， 即自然科学和社会科学的大交叉， 探讨的主题是自然科学与社会科学之间的结合和渗透问题. 1985 年 4 月， 在钱学森、钱三强、钱伟长等学者的倡导下， 在北京召开了全国首届交叉科学学术讨论会， 提出了激动人心的口号: “迎接交叉科学的新时代!”一般而言， 交叉科学分为四个层次: 学科的 “内部” 交叉 交叉科学的*基本的类型就是一个学科内的各个方向的内部交叉. 当学科发展到一定程度， 子学科的建设呈现一定规模时， 学科内部方向的融合交叉可以拓展更多的研究领域， 提示整个学科的科学水平. 学科间的 “近距离” 交叉 其是在不同子学科背景下的合作. 如数学与统计学、数学和力学等的交叉， 这均属于在一类的学科间的交叉. 数学应用于其他学科是 20 世纪科学发展的突出特点， 定量的方法被广泛地应用于几乎所有的学科 (自然科学、社会科学)， 不断实现真正的科学整体化发展.学科间的 “远距离” 交叉 如数学与中文、人口学与物理学、医学与地质学等等， 也出现了学科交叉. 学者在研究和探索过程中， 有意或无意地发现原来相距很远的学科间有一种可以相互推理或是互为所用的极妙关系. 交叉往往会解决一些辣手和尖端的科学问题. 学界间的交叉 我们以往所认识的交叉学科， 大多是在自然科学学界内和社会科学学界内的研究. 近年来， 研究两界间交叉合作日益增多， 逐步体现出“把握学科前沿， 促进学科交叉”的导向， 在思想上把社会科学和自然科学放在同等重要的位置. 交叉科学的重要性主要体现在: (1) 社会进步、科学发展需要加强交叉学科. (2) 学科交叉点往往对应科学新的生长点、新的科学前沿， 这里*有可能产生重大的科学突破， 使科学发生革命性的变化. (3) 有利于综合性地解决人类面临的重大问题. 交叉科学是自然科学、社会科学、人文科学、数学科学与哲学等大门类科学之间发生的外部交叉以及本门类科学内部众多学科之间发生的内部交叉所形成的综合性、系统性的知识体系， 因而有利于有效地解决人类社会面临的重大科学问题和社会问题， 尤其是全球性的复杂问题. 这是交叉科学所能发挥的社会功能. (4) 国家对交叉科学的高度重视. 下面列举一些交叉科学领域. 变分理论在研究这些领域的某些方面已经表现出重要作用及强大的生命力， 而在某些方面则期待着原始的创造性的工作出现. 1.2.1 社会科学方面 经济学 数学在经济学发展中起着重要作用. 统计显示， 截至 2008 年的 62 位诺贝尔经济学奖中有 20 位获得过数学学位. 大范围变分是研究经济学的一个重要手段. 上层建筑学 经济基础决定上层建筑. 数学和经济学的交叉自然延展为数学与上层建筑的交叉. 系统控制 如优化管理、国防指挥系统、运筹博弈等. 复杂系统 复杂系统理论、预测科学、金融数学与风险管理、信息学、不确定性决策理论与方法. 哲学 数学和哲学同是高度抽象的学问， 有相同的思考方式， 用数学去描述哲学大有可为. 例如“无数偶然蕴含必然”， 用大数据描述偶然， 经数学分析可前瞻必然或掌控必然的趋势. 文学艺术 设想把各种描述感情的词藻集成文库， 当写诗词小说时输入该感情符号， 让计算机自动组合输出成文该多美妙啊. 数学的思想、方法和精神对于绘画、作诗具有十分重要的意义. “越往前走， 艺术越要科学化， 同时科学也要艺术化”(福楼拜). “数学到了*后阶段就要遇到想象 于是数学也成了诗”(雨果). 1.2.2 自然科学方面 宇宙学 宇宙起源、中微子、暗物质与暗能量、多体问题、自旋流形. 无界 Hamilton 系统 反应-扩散系统、优化控制论. 力学系统 钱伟长曾说过力学就是变分. 19 世纪前历史上*著名的数学家同时也是**的力学家， 例如 Archimedes， Newton， Euler， Lagrange， Cauchy 等. 在 20 世纪， 科学日益成为专门家在愈来愈窄的领域内进行着的事业， 鲜有 Poincaré， Hilbert， Kolmogorov 等同时是数学家和力学家. (1) 量子力学. 研究微观粒子的运动规律的物理学分支学科， 主要研究原子、分子、凝聚态物理， 以及原子核和基本粒子的结构、性质的基础理论， 量子世界的调控与信息、能源、材料等技术的新突破， 特别， 如 Schr.dinger 方程、Dirac 系统的驻波与行波， 描述 Bose-Einstein 凝聚及光在非线性介质的传播等. (2) 理论力学. 用 Lagrange 力学和 Hamilton 力学的观点处理力学问题， 并加入混沌等较新的内容. (3) 电动力学. 主要研究电磁场的基本属性、运动规律以及电磁场和带电物质的相互作用， 包括: 介质中的场方程和边值问题， 有介质存在时电磁波的传播， 以及电动力学对超导体、等离子体和晶体的电磁性质的描述. (4) 相对论. 关于时空和引力的理论， 主要由 Einstein 创立. 奠定了现代物理学的基础. 相对论极大地改变了人类对宇宙和自然的“常识性”观念， 提出了“同时的相对性”“四维时空”“弯曲时空”等全新的概念. (5) 热力学和统计物理. 研究热运动的规律和热运动对物质宏观性质的影响.热力学是热运动的宏观理论， 统计物理是热运动的微观理论. 宏观量是微观量的某种统计平均值. (6) 材料力学. 研究材料在各种外力作用下产生的应变、应力、强度、刚度、稳定和导致各种材料破坏的极限. (7) 流体力学. 变分法在研究流体力学方程中的 Rayleigh-Taylor 线性不稳定问题中起着重要的作用. 针对具有重力场的三维非齐次不可压 Navier-Stokes 方程组， 利用经典的变分法得到解的存在性. 其方法还被推广运用到其他更复杂的流体运动， 如磁流体、粘弹性流体、分层可压磁流体、无磁扩散效应的不可压缩磁流体等等. 生态学 以数学的理论和方法研究生态学， 包括生态数学模型、生态系统分析、统计生物学、生态模拟等内容. 而今它在理论、实验和应用研究方面都有着很大的进展. 生命科学 生命起源、进化和人造生命. 认知科学 脑与认知科学及其计算建模. 随机微分方程 变分结构、分析框架. 大数据科学 建立与应用相应的山路定理. 杨-米尔斯 (Yang-Mills) 理论 又称规范场理论， 是研究自然界四种相互作用 (电磁、弱、强、引力) 的基本理论， 是由物理学家杨振宁和 R.L. 米尔斯在 1954 年首先提出来的. 杨-米尔斯提出了杨-米尔斯作用量 (规范势的泛函). 作它的变分， 就得到纯杨-米尔斯方程. 杨-米尔斯联络是在给定机构群的联络空间上有曲率的平方模定义的泛函的临界点. 在本书后面， 我们将以一些半线性问题为例， 演示变分方法在交叉科学研究中的应用， 权当抛砖引玉. 1.3 半线性变分问题 就变分学直面的泛函而言， 通常分为如下两类予以处理. (下方) 有界泛函的变分方法 典型例如下. 直接方法 经典的变分理论表现在研究泛函的极值问题. 相当长时间内常用直接变分方法， 其中一个代表性定理是说: 设 X 是一个可分 Banach 空间的共轭空间 (例如， 自反 Banach 空间). 又设是一个弱 * 序列闭非空子集. 若是弱 * 序列下半连续且强制的 (即， ， 当时，)， 则 f 在 E 上有极小值. Ekeland 变分原理 设 (X; d) 是一个完备的度量空间， 下方有界且下半连续. 若存在使得， 则存在 y. 2 X 满足 (1) (2) (3) 无界泛函的变分原理 典型例如下. 近代变分法——临界点理论 (参阅 [1，4，9，13，18，25，40，81，91，102，112] 及其文献)， 始于: 1973 年;