高等数学习题课教程(上册)

第1章 函数与极限 1.1 学习要求 (1)理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系式; (2)了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性; (3)理解复合函数和分段函数的概念，了解反函数和隐函数的概念; (4)掌握基本初等函数的性质及图形; (5)理解极限的概念，理解函数左极限和右极限的概念，以及函数极限存在与左极限和右极限之间的关系; (6)掌握极限的性质及四则运算法则; (7)掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法; (8)理解无穷小和无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限; (9)理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)，会判别函数间断点的类型; (10)了解连续函数的性质及初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、*大值和*小值定理、介值定理)，并会应用这些性质. 1.2 内容提要 1.2.1 函数 1.区间与邻域 1)区间 (1)开区间; (2)闭区间; (3)半开半闭区间; (4)无穷区间. 2)邻域 (1)的邻域; (2)的去心邻域：. 2.映射 (1)映射：设是两个非空集，如果存在一个法则，使得对中每个元素，按法则，在中有唯一确定的元素与之对应，那么称为从到的映射，记为; (2)满射：中任意元素都是中某元素的像; (3)单射：中任意两个不同的元素，它们的像; (4)一一映射(双射)：既是单射又是满射的映射. 3.函数 1)函数的定义 设有数集，则称映射:为定义在上的函数，通常记为 其中：称为自变量;称为因变量;称为定义域. 2)函数的特性 有界性、单调性、奇偶性和周期性. 3)反函数与复合函数 (1)反函数：设函数:为单射，则映射:称为函数的反函数; (2)复合函数：设函数的定义域为，函数在上有定义，且，则由式 所确定的函数称为，构成的复合函数. 4)基本初等函数 (1)常数函数; (2)幂函数; (3)指数函数; (4)对数函数; (5)三角函数：y=sin x， cos x， tan x， cot x， sec x， csc x; (6)反三角函数：y=arcsin x， arccos x， arctan x， arccot x. 5)初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤而构成且可由一个式子表示的函数称为初等函数. 1.2.2 极限 1.极限的概念与性质 单侧极限的定义相类似，叙述从略. 2.极限与单侧极限的关系 存在和分别存在且相等. 3.无穷小和无穷大 (1)无穷小：在自变量某个变化过程中，极限为0的函数; (2)无穷大：在自变量某个变化过程中，绝对值无限增大的函数. 注意在自变量的同一变化过程中，无穷小(不为0时)与无穷大互为倒数关系. 4.无穷小的比较 (1)设，则 (2)若，则称是的阶无穷小. (3)常用的等价无穷小：当时，有 当时，有 5.关于在自变量的同一个变化过程中的无穷小的几个结论 (1)有限个无穷小的代数和仍是无穷小; (2)有限个无穷小的积仍是无穷小; (3)无穷小与有界量的积仍是无穷小; (4)等价于，是无穷小; (5)若，，且，则. 6.极限运算的重要结论 (1)设，则. (2)两个重要极限. (3)夹逼准则： 设数列，若且，则. 设函数在自变量x的某极限变化过程中有，且，则. (4)单调有界准则：单调递增(减)而有上界(下界)的数列必有极限. 1.2.3函数的连续性 1.在处连续的三个等价定义 (1); (2)当时，; (3)，，当时，有. 2.单侧连续 (1)左连续：; (2)右连续：; (3)在处连续在处左连续且右连续. 3.函数的间断点及其分类 定义**类 第二类间断点 下述三种情形之一： (1)在处无定义，但在的某去心邻域内有定义; (2)不存在; (3). 左、右极限均存在的间断点. (1)可去间断点; (2)跳跃间断点. **类间断点以外的间断点. (1)无穷间断点： 或; (2)振荡间断点; (3)其他间断点. 4.连续函数的重要结论 (1)连续函数的和、差、积、商(分母不为0)在其共同的连续区间上连续; (2)单调连续函数的反函数仍是单调连续函数; (3)连续函数与连续函数复合后的函数还是连续函数; (4)基本初等函数在其定义域上连续; (5)初等函数在其定义区间上连续; (6)闭区间上的连续函数必有*大值和*小值存在，因而必为有界函数; (7)闭区间上的连续函数必可取得介于与(设)之间的任意值; (8)闭区间上的连续函数必可取得介于*大值与*小值之间的任意值; (9)设函数在上连续，且，则在内至少存在一点，使得. 1.3 释疑解难 1.构成映射的要素是什么构成函数的要素是什么二者有什么不同 解答构成映射的要素有三个，即定义域、值域和对应法则.函数作为一个特殊的映射，定义中已经规定值域的范围是实数集R，因此，构成函数的要素只有两个，即定义域和对应法则.定义域和对应法则一旦确定，值域也就自然确定了.判断两个函数是否相同，只要比较定义域和对应法则是否相同即可. 2.数列无界，与有何区别 解答无界，是指不存在正数，使得;直观上理解，是指当时，的变化趋势为无穷大，强调的是变化趋势.例如，，显然无界，不存在，但不是无穷大.因为随着的增加，没有“专一”的变化趋势. 反过来，若，则一定无界. 3.高阶无穷小有怎样的运算规律 解 答高阶无穷小的运算规律：当时，有 (1); (2)当时，; (3); (4)设有界，则. 注意下面两个结论都是错误的： (1)，例如，但; (2)，例如，但. 4.无限个无穷小的乘积是否为无穷小 解答无限个无穷小的乘积不一定是无穷小.注意，这个问题中有两个变化过程：一个是无穷小对应的自变量的变化过程;另一个是无穷小的个数趋向无穷大的变化过程.这是两个变量变化的极限问题，详细讨论比较复杂. 设，显然，对任意固定的，当时，是无穷小，但当时，有. 显然，当，时，不是无穷小.该例说明，无限个无穷小的乘积不一定是无穷小.本例中的e换成任何大于1的数都可以. 一般地，无限个无穷小的乘积是未定型. 5.讨论函数的极限时，什么情况下要考虑左、右极限 解答一般讨论函数在处的极限，都应先看一看单侧极限的情况.若当时，在处两侧的变化趋势一致，则不必分开研究;若两侧变化趋势可能有差别，则应分别研究左、右极限.