电磁场互易定理一般形式

第1章绪论 互易定理是电磁学*重要的理论之一，它将两个独立的电磁场联系起来，描述了两组电磁场源的相互作用关系。近年来我们持续对电磁场互易定理进行了研究：2019～2020年，导出了动量互易定理方程，对现有的电磁场互易定理进行了梳理，并讨论了包含动量互易定理在内的现有各定理之间相互导出的变换方法；2021年，我们又研究了能量型和动量型互易定理在频率域的时空统一形式。 1.1引言 1896年，洛伦兹提出的经典电磁场互易定理（Lorentz，1896）是电磁学重要理论之一，在通信和天线信号传输、电磁成像等诸多领域应用广泛。此后百余年，一些新的电磁场互易定理陆续被发现，包括频率域和时间域的互易定理。 单就时谐场频率域互易定理而言，按是否有明确物理意义，主要可以概括为两种类型：互能量型或互动量型，如互能定理（Rumsey，1963；赵双任，1987）、互动量定理（Liuetal.，2020）；能量反应型或动量反应型，如洛伦兹互易定理（Lorentz，1896），Feld-Tai互易定理（Feld，1992；Tai，1992）及本书作者提出的两个动量互易定理（刘国强等，2020；Liuet al.，2022a）。 2020年，我们出版了《电磁场广义互易定理》一书。在拙著中，尚留下三个重要问题需细致讨论。下面将对之阐述，并说明本书的写作动因。 假定两组源均处于同一有限体积之内或之外，洛伦兹互易定理的特殊形式为，其中，表达式称为源a对场b的“反应”，也称为“相互作用”，而则称为源b对场a的“反应”，确切地说，它们是反应密度。以上“反应”概念是Rumsey*早提出的，他将洛伦兹互易定理总结为两个场源之间的“作用与反作用”，反应不具实际物理意义，但是它具有功率密度的量纲（Rumsey，1954）。 在2020年，Lindell等采用微分形式对“Rumsey反应”作了扩展（Lindell et al.，2020），导出了广义反应密度，它对应的四维吉布斯矢量为 （1.1.1） 本书将之命名为“Lindell广义反应密度”，简称为“Lindell反应密度”或“Lindell反应”。Lindell等直接处理了Rumsey反应项，导出了广义反应，但他们并未实际推导式（1.1.1）对应的互易定理。 作为时空统一形式，Lindell反应同时包含了功率密度反应和洛伦兹力密度反应，其中功率密度反应为标量反应，是广义反应的时间项；洛伦兹力密度反应为矢量反应，是广义反应的空间项。 Lindell反应密度是对功率密度反应的扩展，则与之对应的互易定理就是对洛伦兹互易定理的扩展，它的特殊形式应满足，还有一种可能是。综合起来，有，其中 则有 （1.1.2） 将式（1.1.2）分为时间分量和空间分量，有 （1.1.3a） （1.1.3b） 式（1.1.2）和式（1.1.3）虽未被Lindell等明确指出，但根据广义反应密度的定义可以自然而然做出如上的推论。作为时空统一形式，上两式应同时取正号或负号。考虑到洛伦兹互易方程的特殊形式是取正号，与此对应的另一互易方程的特殊形式亦应取正号。 而本书作者对动量互易定理的发现是从另一个层面展开的。2019年，我们发现目前的互易定理方程只是从“能量”一个侧面反映了两个场源之间的相互作用关系，这并不全面。事实上，电磁场除了具有能量还具有动量，因此两个场源的作用关系，除了能量作用关系，还有动量作用关系，需要有反映两种场源之间动量作用关系的定理加以描述，于是在2020年，我们导出了如下两个动量互易方程 （1.1.4） （1.1.5） 若假定两组源同在一个有限体积之内或之外，方程中的一个带有散度的体积分项，在化为面积分项后为零，于是另一个体积分项可以分为两个部分，将它们分立在等式两侧，则动量互易方程式（1.1.4） 的特殊形式为 （1.1.6） 现在的问题是：除了式（1.1.6）所示的动量互易方程外，能否再推导出一个动量互易方程，使得它的特殊形式与推论式（1.1.3b）（取正号）是一致的？解答这个问题是本书写作的**个原因。 经过对现有互易定理梳理后，我们认识到，将洛伦兹互易定理、Feld-Tai互易定理和两个动量互易定理看作彼此独立的方程是存在局限性的，难以窥得全貌。造成认识片面的原因一方面是动量互易定理等方程刚提出来，尚未被广泛认识和应用，另一方面是在经典力学中时间和空间彼此是独立的，人们在描述两个电磁场的关系时习惯于将系统的能量和动量割裂，分开进行研究。而根据狭义相对论，能量守恒方程和动量守恒方程结合成一个统一的“能-动量”守恒方程。这也促使我们尝试在相对论的理论框架下将“能量型”和“动量型”互易定理统一起来，反映时空的统一性，形成一个电磁场“能-动量”互易定理新形式。这项工作是对电磁场理论的丰富，亦可形成新的分析工具为人们所用，兼具理论和实际应用的必要性。因此，系统地导出并阐述电磁场互易定理的一般形式，这是本书写作的第二个原因，亦是*重要的原因。 Lindell等在2020年对Rumsey反应的推广中，首先将功率密度反应和洛伦兹力密度反应统一起来，从Lindell反应中，可推论出洛伦兹互易和动量互易的统一方程。但我们认为，由这种推论而得到的“动量互易方程”本质上并不成立，关于这一点本书将在后续章节重点论述。尽管如此，Lindell等的研究工作仍具有重要价值，开始了从时空统一形式建立电磁场互易关系的尝试。 本书在狭义相对论的框架下，通过四维协变形式（张量形式）和微分形式（differential form）来反映电磁场能量和动量互易定理的时空统一性。四维协变形式已经成为描述现代物理学的重要工具，而微分形式还不常用。本书之所以选择了微分形式这种数学工具，是因为Lindell等在其论文中是用微分形式导出的广义密度项，使用同样的语言，便于在同样的语境下对比分析。本书借助这两种数学工具，实现了洛伦兹互易定理和动量互易定理的统一。但在四维张量的运算法则下，一个时空统一形式电磁互易方程只能将四个互易方程中的一对（洛伦兹互易方程和动量互易方程式（1.1.4）；或Feld-Tai互易方程和另一个动量互易方程式（1.1.5））统一起来，无法在一个式子中涵盖目前所有的电磁互易方程。因此，我们还尝试在狭义相对论体系下用其他数学工具来推导更完备的“能-动量”互易定理。 麦克斯韦在其传世名著《电磁通论》中使用了四元数，并将之用于电磁场方程。后来四元数理论成为海威赛德等进行矢量运算和矢量分析的前身。现在用四元数处理经典电磁场问题虽不是主流，但这个领域仍相当活跃，如Jack用四元数方式表述麦克斯韦方程组（Jack，2003）。在量子物理范畴，四元数及其相近形式更是主要表述形式。根据狭义相对论，电磁场和源均是时空中的四物理量，四电磁场方程的实标部、虚标部、实矢部和虚矢部四个分量分别对应高斯电通定律、高斯磁通定律、安培定律与法拉第电磁感应定律，也就是说，一个四电磁方程就可以涵盖麦克斯韦方程组。据此推测，利用四元数电磁场方程可以获得电磁场互易定理的一般形式。四元数体系与四维时空对应，且由于哈密顿算符与四元数运算同时包含旋度项及散度项，两个四元数相乘同时包含矢量点乘和叉乘，在全面反映电磁场互易定理的时空统一性时，具有极大的优势（许方官，2012）。 本书在第5章通过四元数体系推导了四电磁场能量动量守恒方程，在此基础上导出了频域电磁场互易定理的一般形式。该形式将目前已经发现的反应型互易定理全部统一在一个方程中，同时也导出了能量动量型的互易方程统一形式，该方程中包含着两项尚未被前人认知的方程。利用四元数体系，从时空角度全面反映两组电磁场的相互作用，有助于更好地认识各个方程以及方程之间的内在联系。 本书遵循的基本研究思路是：从时域电磁场的能量动量守恒方程出发，通过取时间周期平均，得到频域电磁场能-动量守恒方程，进而利用我们在上部专著《电磁场广义互易定理》中采用的合成场方法，导出两个电磁场的互能-动量方程，之后通过共轭变换得到两个电磁场的能-动量互易方程。我们亦对“Rumsey反应”做出一般形式的扩展，将现有的Rumsey反应由功率密度反应和洛伦兹力密度反应两项（即Lindell反应），扩展为包含它们在内的四项（Liuetal.，2022b）。 在上部专著中，我们处理了均匀介质，在本书中，我们将Feld-Tai和两个动量互易方程推广到非均匀介质。此外，我们还扩展了诸如导出惠更斯原理等理论应用，这是本书写作的第三个原因。 1.2本书主要内容 本书是我们上部专著《电磁场广义互易定理》的续集。 根据逻辑关系，本书共分为六章，各个章节的内容安排如下： 第1章，绪论，阐明本书的写作动因与目的。 第2章，为了自成体系，本章介绍了时域电磁场能量守恒方程、时谐电磁场能量守恒方程、时域电磁场动量守恒方程、时谐电磁场动量守恒方程，以及时间反转变换和频域共轭变换，这些方程和变换方法后续章节将用到。 第3章和第4章，分别从张量协变形式的电磁场方程和微分形式的电磁场方程出发，导出了电磁场互能-动量方程和能-动量互易方程，其中**个方程中包含互能定理和互动量定理；第二个方程包含洛伦兹互易定理和动量互易定理。 第5章，从四元数形式的电磁场方程出发，导出了电磁场互能-动量方程和能-动量互易方程，其中**个方程中包含互能定理、互动量定理、以及Feld-Tai互易定理和另一个动量互易定理对应的方程（之前并未被发表过）；第二个方程（刘国强等，2022a）包含洛伦兹互易定理、Feld-Tai互易定理和两个动量互易定理。此外，本章还探讨了Rumsey反应的扩展。