高等泛函分析

目录

第1章线性泛函分析初步

1.1距离空间及紧性

1．1．1距离空间的概念

1．1．2收敛及完备性

1．1．3紧性与全有界

1．1．4压缩映射原理

1．2赋范线性空间与线性算子

1．2．1赋范线性空间

1．2．2内积空间

1．2．3有界线性算子

1．2．4对偶空间

1．3泛函分析基本定理

1．3．1基本定理

1．3．2自反空间

1．3．3全连续算子

1．4紧算子的谱

1．4．1基本概念

1．4．2谱的简单性质

1．4．3紧算子的谱

1．5向量值解析函数与谱映照定理

1．5．1向量值解析函数的概念

1．5．2向量值解析函数的性质

1．5．3谱映照定理

第1章练习题

第2章非线性算子微积分

2．1非线性算子的有界性与连续性

2．1．1非线性算子的有界性与连续性

2．1．2连续算子的性质

2．1．3全连续算子的概念

2．1．4全连续算子的性质与等价刻画

2．2抽象函数的积分

2．2．1抽象函数的Riemann积分

2．2．2Bochner积分

2．3非线性算子的可微性与解析性

2．3．1Gateaux微分与导数

2．3．2Fréchet微分与导数

2．3．3偏导数

2．3．4解析算子

2．4多重线性算子与高阶微分

2．4．1n重线性算子

2．4．2高阶微分与高阶导数

2．5非线性算子的Taylor公式与幂级数展开

2．5．1非线性算子的Taylor公式

2．5．2抽象幂级数及其收敛性

2．5．3解析算子的幂级数展开

2．6梯度算子与单调算子

2．6．1非线性泛函的梯度

2．6．2单调算子与凸泛函

2．7隐函数定理

2．7．1Cp映射

2．7．2隐函数存在定理

2．7．3隐函数的可微性

2．7．4Newton迭代方法

2．8泛函极值及条件

2．8．1*速降线问题及其求解

2．8．2泛函极值的必要条件

2．8．3下半弱连续条件与泛函极值的存在性

2．8．4*陡下降法

2．8．5PalaisSmale条件与泛函极值存在性

第2章练习题

第3章算子半群基础

3．1算子半群的基本概念与性质

3．1．1算子半群的概念与性质

3．1．2C0半群的性质

3．1．3一致连续半群的等价刻画

3．2无穷小生成元的特征

3．2．1C0半群的无穷小生成元的特征

3．2．2耗散算子与压缩C0半群

3．2．3应用

3．3解析半群与扇形算子

3．4分数幂算子与分数幂空间

3．4．1分数幂算子

3．4．2分数幂空间

第3章练习题

第4章拓扑度

4．1预备知识

4．1．1连续映射规范化与光滑逼近

4．1．2临界点与Sard定理

4．1．3散度与积分

4．2Brouwer度

4．2．1C1类映射的拓扑度的导数表示

4．2．2C1类映射的拓扑度的积分表示

4．2．3Brouwer度及其基本定理

4．2．4零点指数与乘积定理

4．3LeraySchauder度

4．3．1关于推广Brouwer度的讨论

4．3．2LeraySchauder度的建立

4．4拓扑度的应用

4．4．1Brouwer不动点定理

4．4．2LeraySchauder不动点定理

4．4．3连续映射为满射的条件

4．4．4在微分方程中的应用

第4章练习题

第5章不动点理论及其在微分方程中的应用

5．1不动点理论概述

5．1．1经典不动点定理

5．1．2线性算子扰动下的压缩型不动点定理

5．1．3混杂压缩型不动点定理

5．1．4集值不动点定理

5．2不动点理论在时滞微分方程的应用

5．2．1特定函数空间中的不动点定理

5．2．2时滞脉冲边值问题

5．2．3生物数学中的几个时滞模型

5．2．4时滞积分微分方程

5．3不动点理论在分数阶微分方程的应用

5．3．1分数阶微分方程的存在唯一性

5．3．2带扩散影响的分数阶微分方程

5．3．3分数阶边值问题解的存在唯一性

5．4不动点理论在Banach空间中的微分方程的应用

5．4．1波动方程的时间周期解

5．4．2时滞反应扩散方程的时间周期解

第5章练习题

第6章算子半群理论在微分方程中的应用

6．1算子半群理论在泛函微分方程中的应用

6．1．1泛函微分方程的局部解

6．1．2泛函微分方程的整体解

6．2算子半群理论在半线性抛物方程中的应用

6．2．1齐次线性方程初值问题

6．2．2非齐次线性方程初值问题

6．2．3非线性方程的初值问题

6．3算子半群理论在半线性波方程中的应用

6．3．1半线性波方程初边值问题

6．3．2SineGordon方程初边值问题

6．4算子半群理论在时滞反应扩散方程中的应用

6．4．1时滞反应扩散方程的适定性

6．4．2时滞反应扩散方程的算子半群与无穷小生成元

6．4．3两个例子

第6章练习题

参考文献