数学模型及其应用(第三版)

第1章绪论 　　现实世界中的问题是千变万化的，小到微观粒子，大到宇宙星系，为了更好地研究它们的内在规律，需要运用适当的数学工具建立其数学模型来进行分析。因此，数学模型是联系实际问题与数学方法之间的桥梁。 　　数学模型并不是一个新事物，其历史可以追溯到人类开始使用数字的时代。而随着科学技术的飞速发展，数学的应用越来越深入到生产、工作和生活中的方方面面，数学模型的作用也越来越重要。 　　1.1数学建模的定义及其重要意义 　　1.1.1什么是数学建模 　　数学模型（mathematical model）是指为了更好地研究现实世界中的数量关系与空间形式，针对特定对象和目的，根据其特有的内在规律，通过进行必要的抽象、归纳、假设、简化，运用适当的数学方法建立的数学结构。因此，数学模型是对我们所关心的现实世界中一个特定对象的数学描述，而建立这一数学描述的过程就是数学建模（mathematical modeling）。 　　图1.1数学建模流程图 　　数学建模体现了一种数学的思考方法，是“对现实的现象通过心智活动构造出能抓住其重要且有用的特征的表示，常常是形象化的或符号的表示”。从科学、工程、经济、管理等角度看，数学建模就是用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学工具。“modeling”一词在英文中有“塑造艺术”的意思，即从不同的侧面、角度去考察问题就会有不尽相同的数学模型，从而数学建模的创造又带有一定的艺术的特点。但数学建模重要的特点是要接受实践的检验、多次修改模型使之渐趋完善的过程，这可以用图1.1所示的数学建模流程图来表示。 　　可以说，自从有了数学并要用数学去解决实际问题，就一定会用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问题，而这种刻画的数学描述本身就是一个数学模型。两千多年以前创立的Euclid（欧几里得）几何，17世纪发现的Newton（牛顿）万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的著名范例。在科学技术飞速发展的今天，数学建模已成为处理现实世界中各种实际问题的重要工具，并在自然科学、工程技术科学、社会科学等各个领域中得到广泛应用。 　　1.1.2数学建模示例 　　如何控制并预测人口的发展是当前众多发展中国家面临的重要问题之一，因而对人口的控制与预测方面的研究工作越来越受到政府和社会的重视。影响今后人口总数的因素很多，一般来说，要预测今后某时刻人口的总数是一个很复杂的问题。长期以来，人们在这方面做了不少工作，下面介绍两个基本的人口模型。 　　1．指数增长模型 　　记某年人口数为，k年后人口数为，年增长率为r，则 　　（1.1） 　　显然，这个公式的基本条件是年增长率r保持不变。 　　200多年前英国人口学家Malthus（马尔萨斯）调查了英国100多年的人口统计资料，得出人口增长率不变的假设，并据此建立了著名的人口指数增长模型。 　　记t时刻的人口数为，当考察一个国家或一个较大地区的人口数时，是一个很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微的函数。记初始时刻（t=0）的人口数为，假设人口增长率为常数r，即单位时间内的增量等于r乘以，考虑时间t到t+Δt内人口数的增量，显然有 　　令，则满足微分方程 　　（1.2） 　　由这个方程很容易解出 　　（1.3） 　　当r＞0时，式（1.3）表示人口数将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。式中的参数r和可用历史数据进行估计。 　　历史上，指数增长模型与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据可以很好地吻合，迁往加拿大的欧洲移民后代人口数也大致符合这个模型。另外，用它进行短期人口预测可以得到较好的结果。事实上，这主要是因为在这些情况下，模型的基本假设—人口增长率是常数—大致成立。 　　但是从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长，即指数模型不能描述，也不能预测较长时期的人口演变过程。这是因为，人口增长率事实上在不断地变化着。排除灾难、战争等特殊时期，一般地，当人口较少时，增长较快，即增长率较大；人口增加到一定数量以后，增长就会慢下来，即增长率变小。 　　由此可见，为了使人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。 　　2．logistic（逻辑斯谛）模型（阻滞增长模型） 　　分析人口增长到一定数量后增长率下降的主要原因，人们注意到，自然资源和环境条件等因素对人口的增长起着阻滞作用，并且随着人口的增加，阻滞作用越来越大。logistic模型就是考虑到这个因素，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。 　　阻滞作用对人口增长率r的影响，使得r随着人口数量的增加而下降，若将r表示为的函数，则它应是减函数，于是方程（1.2）可写成 　　（1.4） 　　对的一个简单的假定是，设为的线性函数，即 　　（1.5） 　　其中：r称为固有增长率，表示人口数很少（理论上是=0）时的增长率。为了确定系数s的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的*大人口数量，称为人口容量，当时人口不再增长，即增长率，代入式（1.5）得，于是式（1.5）可改为 　　（1.6） 　　式（1.6）的另一种解释是，增长率与人口尚未实现部分的比例成正比，比例系数为固有增长率r。 　　将式（1.6）代入方程（1.4），得 　　（1.7） 　　方程（1.7）右端的因子体现了人口自身的增长趋势，因子则体现了自然资源和环境条件对人口增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果。 　　如果以为横轴、为纵轴作出方程（1.7）的图形（图1.2），可以分析人口增长速度随着的增加而变化的情况，从而大致地看出的变化规律。 　　图1.2logistic模型-x曲线 　　图1.3logistic模型x-t曲线 　　实际上，方程（1.7）可以用分离变量法求解得到 　　（1.8） 　　读者可以用计算机绘制出式（1.8）的图形，它是一条S形曲线（图1.3），增加得先快后慢，当t→∞时，拐点在。 　　使用这个模型预测美国1820～1930年的人口数，预测结果与实际结果比较相符。但后来出现的误差越来越大，主要原因是1960年后的美国实际人口数就已经超过了过去确定的*大人口数量。这个模型的不足之处在于不易确定。通常的值应随生产力的发展及其他环境的改善而增加。 　　由方程（1.7）表示的阻滞增长模型，是荷兰生物数学家Verhulst（费尔哈斯特）于19世纪中叶提出的，它不仅能够大体上描述人口数及许多物种数量（如森林中的树木、鱼塘中的鱼群等）的变化规律，而且在社会经济领域也有广泛的应用，如耐用消费品的销售量就可以用它来描述。基于这个模型能够描述一些事物符合逻辑的客观规律，人们常称为logistic模型，本书后面的章节将多次用到此模型。 　　用数学工具描述人口变化规律，关键是对人口增长率做出合理、简化的假定。阻滞增长模型就是将指数增长模型关于人口增长率是常数的假设进行修正后得到的。可以想到，影响增长率的出生率和死亡率与年龄有关，所以，更合乎实际的人口模型应该考虑年龄因素。 　　参数估计和模型检验是建模的步骤，线性*小二乘法是参数估计（如果是基于数据的，也称数据拟合）的基本方法，读者应该知道其原理，并掌握其软件实现方法。 　　1.1.3数学建模的重要意义 　　进入20世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域渗透，以及电子计算机的出现和飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视。从以下两个方面可以看出数学建模的重要意义。 　　1．数学建模是众多领域发展的重要工具 　　当前，在国民经济和社会活动的诸多领域，数学建模都有非常深入、具体的应用，如分析药物的疗效、用数值模拟设计新的飞机翼型、生产过程中产品质量预报、经济增长预报、*大经济效益价格策略、费用较少的设备维修方案、生产过程中的控制、零件设计中的参数优化、资源配置、运输网络规划、排队策略、物资管理等。数学建模在众多领域的发展中扮演着重要工具的角色。即便在一般的工程技术领域，数学建模仍然大有可为。在以声、光、热、力、电这些物理学科为基础的诸如机械、电机、土木、水利等工程技术领域中，虽然基本模型是已有的，但由于新技术、新工艺的不断涌现，产生了许多需要数学方法解决的新问题，而计算机的快速发展，使得过去某些无法求解的问题（如海量数据的问题）也有了求解的可能。随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等众多非物理领域的渗透，用数学方法研究这些领域中的内在特征成为关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度的模型的空间相当大，数学建模作为重要工具和桥梁的作用得到进一步体现。 　　2．数学建模促进对数学重要性的再认识 　　从某种意义上讲，说明数学重要性是件容易的事情，可以举出许多例子（从日常生活到尖端技术），这说明数学是必不可少的。但常常会发现，许多人虽然不反对所列举的例子，却认为数学没有多大用处或者觉得数学与工作和生活没有多大关系。这不仅是因为数学语言比较抽象，不容易掌握，还因为传统数学教育重知识传授轻实际应用等。传统的数学教学比较形式、抽象，往往只重视定义、定理、推导、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以及日常生活的密切联系，这使得数学的重要性变得很空泛。随着时代的进步，定量分析越来越受到人们的重视，数学与实际问题的结合变得更为密切和广泛，数学建模成为研究生、大学生乃至中学生的学习内容，其思想逐渐融入数学主干课程的教学内容中，数学学科的重要性也显得更实在、更具体。数学建模在众多学科领域乃至日常生活中的广泛应用促使更多人认识到数学的重要性。 　　1.2数学建模的基本方法和步骤 　　数学建模面临的实际问题是多种多样的，建模的目的不同、分析方法不同、采用的数学工具不同，所得模型的类型也就不同，不能指望归纳出若干条准则，适用于一切实际问题的数学建模方法。因而，所谓的基本方法主要是从方法论的意义上讲的。 　　1.2.1数学建模的基本方法 　　数学建模方法大体上可分为机理分析和测试分析。机理分析是根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明确的物理或现实意义，前面的示例用的是机理分析。测试分析将研究对象看成一个“黑箱”系统（即它的内部机理看不清楚），通过对系统输入、输出数据的测量与统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得*好的模型。 　　一般来说，如果掌握了实际问题的一些内部机理的知识，模型也要求反映其内部特征，那么，建模就应以机理分析为主；而如果研究对象的内部规律不清楚，模型也不需要反映其内部特征，那么就可以用测试分析。对于许多实际问题，常常将两者结合起来建模，即用机理分析建立模型的结构，用测试分析确定模型的参数。本书后面章节所说的数学建模主要指机理分析。 　　1.2.2数学建模的一般步骤 　　数学建模的步骤并没有一定的模式，常因问题性质、建模目的等而异。下面介绍的是用机理分析建模的一般步骤，如图1.4所示。 　　图1.4数学建模步骤示意图 　　（1）模型准备，即了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息（如现象、数据等），弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”，由此初步确定用哪一类模型。 　　（2）模型假设，即根据对象的特征和建模目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，作出必要的、合理的简化假设。