不确定性量化方法及应用

第1章绪论 1.1引言 在实际工程中存在诸多复杂系统，如卫星、导弹、飞机、汽车、先进材料等。高效率、高质量的复杂产品开发对增强国家经济和国防实力具有重要的战略意义。为了缩短设计周期、降低开发成本、满足产品不断提升的性能需求和更新换代频次，计算机仿真技术及优化方法于20世纪60年代中期被广泛应用于复杂系统的设计。其中，计算机仿真正在成为科学和工程许多领域内解决问题的主流方法，与理论分析、实验/试验研究一起成为科学研究的三大支柱。例如，计算流体力学（CFD）数值模拟已成为航空航天和国防安全等国家众多尖端领域产品设计和研制不可或缺的重要手段，在极端气动力/热环境、流动结构或流动机制剖析、紧急任务或复杂事故分析等情况下，CFD是唯一可依赖的手段；结构有限元分析（finite element analysis，FEA）是飞行器型号研制过程中必不可少的重要过程，结构动力学分析结果是进行飞行器结构设计、优化分析等的基础。 飞行器等复杂系统在其研发和生产的整个寿命周期中都充满了源于仿真建模和模拟、生产制造（如几何尺寸）、工作环境（如载荷环境）等的大量不确定性。一方面，这些不确定性必然会导致数值模拟的输出响应也存在不可忽视的不确定性，且输出极有可能对某些不确定性非常敏感，例如激波在翼型上表面的位置和激波后压力对湍流模型封闭系数的变化非常敏感，严重影响CFD结果的可信度，导致*终气动性能预测存在较大偏差。使用与真实结果存在较大差异的数值模拟将造成预测结果的不准确，这对于具有高可靠性要求的航空航天工业产品而言，极有可能引入潜在风险，因此开展优化设计前必须对数值模拟进行模型确认和可信度评估。另一方面，这些不确定性必然会导致飞行器系统性能的波动，进而导致设计失效，带来灾难性后果，例如NASA的高超声速飞行器X43-A试验失败，究其原因是对气动设计不确定性因素模拟不足。因此，需要在飞行器设计中考虑不确定性的影响，开展不确定性下的优化设计（design optimization under uncertainty），如稳健优化设计和基于可靠性的优化设计，提升系统性能的同时确保系统的稳健和可靠。对于数值模拟模型确认和不确定性下的优化设计，其关键皆为不确定性量化uncertainty quantification，UQ），主要包括不确定性表征（uncertainty characterization）和不确定生传播（uncertainty propagation）。 不确定性量化一直都是工程领域重要的理论课题之一，已在水文、地理、预报、经济、自动控制、结构力学分析等领域发展了三十多年，目前已发展出诸多方法。然而，随着工程系统设计的多学科化和复杂化，数值模拟计算规模和计算量显著增长，响应函数维度和非线性不断增加；同时，在仿真建模模拟和设计中存在大量不确定性因素，例如气动CFD数值模拟仅湍流模型中就存在十几种不确定封闭系数。随着不确定性维数的增加，UQ所需调用的数值模拟次数呈指数增长，消耗极大的时间成本与计算资源。不确定性量化面临“维数灾难”、精度低、可靠性差等诸多难题，是目前复杂系统不确定性量化面临的*大挑战。而且，通常不确定性因素众多且形式多样，不论是数值模拟还是物理试验，现有的不确定度量化研究一般将其简单归结为强统计变量，用概率模型进行描述，导致后续建模及计算产生一定的偏差甚至错误的结果。然而，有些不确定性因素由于试验数据稀疏或者对其认知不足，无法用概率模型表征，则有必要同时引入区间、证据等非概率建模方法，同时研究考虑不确定性分类的表征方法，给出分类的量化指标，建立*适合当前观测数据的不确定性模型，提高不确定性表征的准确度和合理性，进而为后续进行高精度的不确定性传播提供保障。 1.2不确定性分类 复杂系统在其研发和生产的整个寿命周期中都充满了源于仿真建模和模拟、生产制造（如几何尺寸）、工作环境（如载荷环境、大气环境）等的大量不确定性。例如，对于CFD数值模拟，存在无法用确切的数学模型描述复杂的湍流现象和化学反应过程；无法用准确的边界条件来复现复杂多变的流动环境；无法用确定的几何描述真实外形可能存在的加工或装配误差，这些都将导致数值模拟的输出响应也存在不可忽视的不确定性。尤其对于大型多物理耦合的复杂系统，其物理模型往往是高度非线性的，很难将其准确地转换为数学模型，这必然带来近似误差。比较典型的如爆轰流体力学模型，涉及高温高压多介质非定常流体力学方程组、描述炸药爆轰的各种形式唯象模型和材料物性的函数关系式，它是双曲型的偏微分方程组与一阶常微分方程和复杂函数关系式耦合的非线性偏微分方程组，即使相关的偏微分方程形式确定下来，由于唯象模型中还含有众多不确定性参数，也会给仿真预测带来巨大的不确定性。 1.2.1随机和认知不确定性 对于不确定性因素，可根据其数学物理特征分为随机（aleatory）和认知（epis-temic）两种类型。随机不确定性来自于物理系统内在的或相应环境的随机性，是物理系统的本征属性。其特点是即使收集更多信息或数据也不能降低该不确定度，只能对其进行更好的表征，因此又称为不可降低的不确定，例如材料性能、几何特征、载荷环境等的波动。认知不确定性是由知识缺乏而产生的，可能是由建模过程中对系统及其环境的不充分认识、试验过程中对试验近似的偏差等所导致。通过累积知识，可以有效地减少甚至消除认知不确定性。如果对某一个具体的不确定性因素，偶然不确定性和认知不确定性同时存在，则称为混合不确定性（mixed uncertainty）。例如，采用不完全样本获得的材料属性，该因素本质上为偶然不确定因素，但由于认知有限，从而无法准确地描述其分布特征。随机不确定性*普遍的量化方法是概率方法，对于认知不确定性，常用的量化方法包括概率方法和非概率方法。 以CFD数值模拟中不确定性来源为例，其中往往是偶然和认知不确定性耦合在一起，且大部分都是认知不确定性。模型中各种不确定的参数（如湍流模型系数、比热比、卡门常数等物理建模参数）、模型假设、湍流模型形式等属于认知不确定性。另外，选择何种湍流模型也属于认知不确定性的范畴。几何模型、初始和边界条件、来流条件（如密度、速度、压力）等属于随机不确定性。在对CFD数值模拟进行模型确认的过程中往往需要试验数据，但由于测量元件的偏差会引入试验数据的随机不确定性。 1.2.2参数和模型不确定性 不确定性按照来源又可分为参数不确定性和模型不确定性。以CFD数值模拟为例，参数不确定性指模型和计算模型建立过程中设定的各种参数，比如，常见的建模参数有湍流模型中的各种常数、系数设定；反应模型中的常数、系数设定；计算格式中的参数设定等，以及CFD的初始条件（如密度、压力、速度、温度等其他表示状态的量）等。物理模型中某些不确定性参数具有相对明确的物理意义，可通过试验结果进行标定。但由于受到试验精度、试验条件的限制，可能无法给出准确的参数估计值，比如湍流模型中的K，热环境模拟中材料的热传导参数或密度、压力、速度、温度等初始条件。而有的参数单纯是为保证模型能够还原预期的理论分析结果，如SA（Spalart-Allmaras）端流模型中的封闭系数和cw3，这些参数没有明确的物理意义，通常是通过一些基本流动进行校准（如均匀各向同性湍流、平板流动、槽道流动等）。然而这些参数并不是普适的，需要根据流动的特性对这些系数进行调整，在复杂湍流流动的数值模拟中，如果模型参数仍然采用基本流动的默认值，就会引入不确定性。 模型形式不确定性来自于建模过程中由假设、抽象、简化、近似和省略带来的不确定因素，例如，雷诺平均纳维-斯托克斯（Navier-Stokes，N-S）方程（RANS）瑞流模型建模中的Boussinesq近似；基于对不同的流动现象的假设，CFD数值模拟的控制方程包括了欧拉（Euler）方程、纳维托克斯方程、玻尔兹曼（Boltzmann）方程等，不同数学模型应用在错误的流动现象时，可能造成较大的误差。 参数不确定性是CFD中重要的不确定性因素，理论上不论是模型不确定性还是参数不确定性，只要能将其参数化表达，皆可利用处理参数不确定性的方法采用概率或非概率方法对其量化评估，因此有关参数不确定性量化方法的研究*为广泛。例如，汤涛和周涛对常用的参数不确定度量化方法进行了综述。Schaefer等针对跨声速壁边界流动研究了湍流模型封闭系数不确定度的影响，并实现了不确定性量化[9]。赵辉等研究了湍流模型系数的不确定度对翼型绕流模拟的影响DeGennaro等分析了冰型的几何不确定度对翼型气动性能的影响[11]。Lo-even和Bijl为了减少不确定性因素的数量，采用参数化方法对NACA4系列翼型进行建模，并利用概率配置点法研究了翼型的*大弯度、*大弯度位置及厚度等关键设计变量的不确定性对翼型气动特性的影响[12]。Singh和Duraisamy为了考虑基于RANS的CFD数值模拟中由Boussinesq假设导致的模型误差，提出在湍流输运方程中引入随机场偏差修正，相当于将模型不确定性量化问题进行了参数化处理采用不同的时间（如离散时间步长：）、空间离散方法（如网格数量及形式）及数值格式将会对CFD计算结果产生较大的影响。数值模拟中数值求解过程必然会引入数值离散误差，对于CFD数值模拟主要包括舍入误差、统计抽样误差、迭代误差和离散误差。对于复杂的模拟问题而言，真值往往是不可知的，对于误差的估计也看作是不确定度的量化。随着现在计算资源日益丰富，计算精度提高，舍入误差的影响已经可以忽略，统计抽样误差一般出现在特定的CFD模拟中。迭代误差和离散误差是CFD数值求解中*重要的误差。通常，采用Richardson外推方法（Richardson extrapolation，RE）估计离散误差，对网格收敛性进行分析和研究。 本书主要对随机、认知及混合不确定性量化方法进行介绍，数值求解不确定性度的量化不在本书的范畴，目前有专门的方法对其进行不确定度量化，这本身属于模型验证（model verification）的内容，关于这方面读者可参阅文献。 1.3模型确认 对于基于仿真的复杂产品优化设计，要保证设计精度，构建高保真度的仿真模型是关键。然而，随着所模拟的物理过程的日益复杂，一次性建立精确的仿真模型变得不太现实。比如，对于CFD数值模拟，由于物理过程的复杂性及人们的认知偏差，仿真建模中也存在着大量不可忽视的不确定性因素，包括模型参数、数值离散、模型形式和模型预测偏差等不确定性。*为常见的是湍流模型封闭系数的选取，现有研究表明，商业或开源CFD软件中的封闭系数默认值或文献中给出的推荐值对于一般流动问题可能会带来较大预测偏差[16L因此，为了提高数值模拟的保真度，必须开展模型验证与确认（verification and validation，V&V）的研究，并对数值模拟进行模型确认和模型修正（model updating，MU）。所谓模型确认，是指基于试验数据，来定量评价数值模拟结果的不确定度，从而决定是接受还是拒绝当前的仿真模型。模型修正是指基于试验数据对数值模拟模型进行修正，使得数值模拟预测结果与试验结果一致。 传统模型确认和修正方法通常不考虑源于模型、参数或试验的不确定性，直接以仿真预测数据与试验数据之间的偏差*小为目标，将模型修正的逆向问题转化为优化问题，通过寻优获得*佳的模型参数，使得修正后的仿真结果与试验结果吻合。王纪森等针对油液流动的CFD数值模拟，采用参数遍历法对Realizable k-s两方程湍流模型中的参数c2进行修正，使得压力损失的仿真与试验结果接近张亦知针对NACA0012翼型的CFD仿真，以翼型表面压力系数为响应量，采用*速下降法修正SA湍流模型的生成项系数，使得基于SA湍流模型的预测结果与高精度大涡模拟结果吻合，提高了SA湍流模型对流场的模拟能力。 然而，由于物理过程的复杂性及人们的认知偏差，物理建模与数值模拟始终存在不确定性。比如，对于CFD数值模拟存在诸如来流和边界条件、几何尺寸等客观存在的随机不