数学与哲学

目 录 一 “万物皆数”观点的破灭与再生———**次数学危机与实数理论 / 1 1.1 毕达哥拉斯学派的信条———万物皆数 / 1 1.2 **个无理数 / 2 1.3 无理数之谜 / 3 1.4 连续性的奥秘 / 4 1.5 戴德金分割 / 6 1.6 连续归纳原理 / 7 1.7 “万物皆数”的再生 / 9 二 哪种几何才是真的———非欧几何与现代数学的“公理” / 11 2.1 欧几里得的公理方法 / 11 2.2 欧几里得的几何定理是真理吗 / 12 2.3 非欧几何的发现 / 13 2.4 哪一个是真的 / 15 2.5 公理是什么 / 17 三 变量·无穷小·量的“鬼魂”———第二次数学危机与极限概念 / 19 3.1 数学怎么描述运动与变化 / 20 3.2 瞬时速度 / 22 3.3 微分是量的鬼魂吗 / 24 3.4 无穷小量的再生 / 26 四 自然数有多少———数学中的“实在无穷”概念 / 28 4.1 伽利略的困惑 / 29 4.2 康托尔，闯入无穷王国的先锋 / 30 4.3 希尔伯特的“无穷旅店” / 32 4.4 所有的无穷都一样吗 / 33 4.5 自然数究竟有多少 / 38 五 罗素悖论引起的轩然大波———第三次数学危机 / 40 5.1 逻辑—集合—数 / 40 5.2 罗素悖论 / 42 5.3 集合的层次理论 / 43 5.4 集合论的公理化 / 44 5.5 连续统假设 / 45 5.6 地平线仍在前方 / 46 六 数是什么———对数学对象本质的几种看法 / 49 6.1 “1”是什么 / 49 6.2 柏拉图主义———数存在于理念世界 / 51 6.3 唯名论观点———数是纸上的符号或头脑中特定的概念 / 54 6.4 康德:数是思维创造的抽象实体 / 55 6.5 约定论的观点———数学规则不过是人的约定 / 56 6.6 逻辑主义———算术是逻辑的一部分 / 56 6.7 直觉主义———数学概念是自主的智力活动 / 58 6.8 形式主义———把数学化为关于有限符号排列的操作 / 60 七 是真的，但又不能证明———哥德尔定理 / 63 7.1 哥德尔定理 / 65 7.2 说谎者悖论与理查德悖论 / 66 7.3 算术有多少种 / 67 7.4 数学的力量与局限 / 69 八 数学与结构———布尔巴基学派的观点 / 71 8.1 在逻辑长链的背后 / 72 8.2 形形色色的加法 / 75 8.3 基本的结构 / 78 8.4 分析与综合的艺术 / 81 九 命运决定还是意志自由———必然性与偶然性的数学思考 / 85 9.1 两种对立的哲学观点 / 86 9.2 从偶然产生必然 / 91 9.3 从必然产生偶然 / 93 9.4 一阵风或一口痰能影响民族的命运吗 / 95 9.5 什么叫必然 什么叫偶然 / 97 十 举例子能证明几何定理吗———演绎与归纳的对立与统一 / 101 10.1 例证法———用演绎支持归纳 / 101 10.2 几何定理也能用例子证明 / 103 10.3 进一步的思考 / 106 十一 数学与哲学随想 / 109 11.1 数学的领域在扩大，哲学的地盘在缩小 / 109 11.2 数学始终在影响着哲学 / 110 11.3 抽象与具体 / 112 11.4 涉及具体问题时，语言必须准确严格 / 113 11.5 个别与一般 / 114 11.6 事物与概念 / 116 11.7 “我不需要这个假设” / 117 11.8 证实与证伪 / 118 11.9 数学世界是人的创造，但它是客观的 / 119 11.10 事物的总体性 / 120 11.11 变化中的不变 / 121 11.12 预 言 / 123 11.13 “没有两件事物完全一样” / 124 11.14 物极必反 / 125 11.15 量变与质变 / 125 11.16 罗素与“事素” / 127 数学高端科普出版书目 / 129