微积分-第二版

第1章函数

1.1函数的概念1

1.1.1预备知识1

1.1.2函数的概念2

1.1.3复合函数与反函数4

1.1.4函数的基本性质6

1.1.5极坐标7

习题1.1 7

1.2初等函数8

1.2.1基本初等函数8

1.2.2初等函数10

习题1.2 11

1.3经济学中常见的函数12

1.3.1成本函数12

1.3.2收益函数12

1.3.3利润函数13

1.3.4需求函数与供给函数13

习题1.3 14

总习题1 15

知识窗1函数的产生及其发展17



第2章极限与连续

2.1数列的极限20

2.1.1数列的概念20

2.1.2数列的极限21

2.1.3数列极限的性质22

习题2.1 24

2.2函数的极限24

2.2.1x→∞时函数的极限24

2.2.2x→x0时函数的极限26

2.2.3函数极限的性质27

习题2.2 28

2.3无穷小量和无穷大量29

2.3.1无穷小量29

2.3.2无穷大量30

2.3.3无穷小量与无穷大量的关系31

习题2.3 31

2.4极限的运算法则31

习题2.4 34

2.5两个重要极限34

2.5.1夹逼准则34

2.5.2单调有界原理36

习题2.5 37

2.6无穷小的比较和极限在经济学中的应用38

2.6.1无穷小的比较38

2.6.2等价无穷小的性质39

2.6.3极限在经济学中的应用40

习题2.6 40

2.7函数的连续性41

2.7.1函数连续性的概念41

2.7.2函数的间断点43

2.7.3连续函数的性质及初等函数的连续性44

习题2.7 45

2.8闭区间上连续函数的性质46

2.8.1*值定理及有界性定理46

2.8.2零点定理与介值定理46

习题2.8 47

总习题2 47

知识窗2极限思想的产生和发展49



第3章导数与微分

3.1导数概念52

3.1.1引例52

3.1.2导数的定义53

3.1.3导数的几何意义55

3.1.4函数可导与连续的关系56

习题3.1 57

3.2函数求导的运算法则57

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则57

3.2.2反函数的求导法则59

3.2.3复合函数的求导法则(链式法则)60

3.2.4基本初等函数的导数公式62

3.2.5隐函数求导法62

3.2.6取对数求导法63

3.2.7由参数方程所确定的函数的导数64

习题3.2 64

3.3高阶导数65

习题3.3 67

3.4微分及其运算67

3.4.1微分的概念67

3.4.2微分与导数的关系68

*3.4.3微分的几何意义69

3.4.4基本初等函数的微分公式与微分运算法则69

3.4.5微分在近似计算中的应用71

习题3.4 72

总习题3 73

知识窗3导数与微分的发展史况74



第4章微分中值定理与导数的应用

4.1微分中值定理78

4.1.1罗尔定理78

4.1.2拉格朗日中值定理80

4.1.3柯西中值定理81

习题4.1 82

4.2洛必达法则82

4.2.10/0型未定式83

4.2.2∞/∞型未定式84

4.2.3其他未定式85

习题4.2 87

4.3函数的单调性、极值与*值87

4.3.1函数单调性87

4.3.2函数的极值与*值89

习题4.3 93

*4.4函数的凹凸性与拐点及函数图形的作法94

4.4.1函数的凹凸性与拐点94

4.4.2函数图形的作法96

习题4.4 98

4.5导数在经济学中的应用98

4.5.1边际分析98

4.5.2弹性分析100

4.5.3*优化问题102

习题4.5 103

总习题4 103

知识窗4(1)中值定理及其应用发展105

知识窗4(2)洛必达法则趣闻 105



第5章不定积分

5.1不定积分的概念和性质107

5.1.1原函数107

5.1.2不定积分108

5.1.3不定积分的性质108

5.1.4基本积分表109

习题5.1 110

5.2换元积分法111

5.2.1**类换元积分法(凑微分法)111

5.2.2第二类换元积分法114

习题5.2 117

5.3分部积分法117

习题5.3 119

*5.4简单有理函数的积分120

习题5.4 122

总习题5 122

知识窗5积分的发展史况123



第6章定积分

6.1定积分的概念127

6.1.1引例127

6.1.2定积分定义128

6.1.3定积分的几何意义129

6.1.4定积分的性质130

习题6.1 132

6.2微积分基本公式132

6.2.1积分上限函数及其导数133

6.2.2牛顿-莱布尼茨公式135

习题6.2 136

6.3定积分的换元积分法136

习题6.3 139

6.4定积分的分部积分法140

习题6.4 141

6.5定积分的应用142

6.5.1定积分的微元法142

6.5.2定积分的几何应用142

6.5.3定积分的经济应用147

习题6.5 148

*6.6反常积分初步148

6.6.1无穷积分148

6.6.2瑕积分150

6.6.3Γ函数152

习题6.6 152

总习题6 153

知识窗6博学多才的数学大师——莱布尼茨154



第7章多元函数微积分学

7.1多元函数的基本概念158

7.1.1平面点集158

7.1.2多元函数及空间几何简介160

7.1.3多元函数的极限164

7.1.4多元函数的连续性165

习题7.1 166

7.2偏导数167

7.2.1偏导数的定义及其计算法167

7.2.2偏导数的几何意义及偏导数存在与连续性的关系168

7.2.3高阶偏导数169

7.2.4偏导数在经济分析中的应用——交叉弹性170

习题7.2 171

7.3全微分及其应用172

7.3.1全微分的定义172

*7.3.2全微分在近似计算中的应用174

习题7.3 174

7.4多元复合函数的求导法则175

7.4.1复合函数的中间变量均为一元函数的情形175

7.4.2复合函数的中间变量均为多元函数的情形175

7.4.3复合函数的中间变量既有一元函数又有多元函数的情形176

习题7.4 177

7.5隐函数的求导法则178

7.5.1一个方程的情形178

*7.5.2方程组的情形179

习题7.5 180

7.6多元函数的极值及其求法181

7.6.1多元函数的极值及*大值、*小值181

7.6.2条件极值拉格朗日乘数法183

习题7.6 184

7.7二重积分简介185

7.7.1二重积分的概念185

7.7.2二重积分的性质186

7.7.3二重积分的计算187

习题7.7 192

总习题7 193

知识窗7(1)多元函数及其微分法的发展简况195

知识窗7(2)科学的巨人——牛顿196



第8章无穷级数

8.1常数项级数的概念和性质199

8.1.1引例199

8.1.2常数项级数的概念200

8.1.3收敛级数的基本性质202

习题8.1 203

8.2正项级数的审敛法203

8.2.1比较审敛法204

8.2.2比值审敛法207

*8.2.3根值审敛法208

习题8.2 208

8.3绝对收敛与条件收敛209

8.3.1交错级数及其审敛法209

8.3.2绝对收敛及条件收敛209

习题8.3 210

8.4幂级数211

8.4.1函数项级数211

8.4.2幂级数及其收敛域212

8.4.3幂级数的运算与性质214

习题8.4 217

8.5函数展开成幂级数218

8.5.1泰勒公式与泰勒级数218

8.5.2函数展开成幂级数219

*8.5.3利用函数幂级数展

开式进行近似计算221

习题8.5 222

总习题8 222

知识窗8(1)级数的发展简况224

知识窗8(2)近代数学先驱——欧拉226



第9章微分方程

9.1微分方程的基本概念228

9.1.1引例228

9.1.2微分方程的基本概念229

习题9.1 230

9.2一阶微分方程230

9.2.1可分离变量的微分方程231

9.2.2齐次微分方程232

9.2.3一阶线性微分方程233

习题9.2 236

9.3可降阶的微分方程237

9.3.1y(n)=f(x)型的微分方程237

9.3.2y″=f(x，y′)型的微分方程238

9.3.3y″=f(y，y′)型的微分方程239

习题9.3 240

9.4二阶常系数线性微分方程240

9.4.1二阶常系数齐次线性微分方程240

9.4.2二阶常系数非齐次线性微分方程243

习题9.4 247

*9.5微分方程在经济学中的应用248

9.5.1微分方程的平衡解与稳定性248

9.5.2供需均衡的价格调整模型249

9.5.3索洛(Solow)新古典经济增长模型250

9.5.4新产品的推广模型251

习题9.5 253

总习题9 253

知识窗9常微分方程的发展史况255



第10章差分方程初步

10.1差分方程的基本概念258

10.1.1差分258

10.1.2差分方程的基本概念259

习题10.1 260

10.2一阶常系数线性差分方程260

10.2.1一阶常系数线性齐次差分方程260

10.2.2一阶常系数线性非齐次差分方程261

习题10.2 263

*10.3二阶常系数线性差分方程264

10.3.1二阶常系数线性齐次差分方程264

10.3.2二阶常系数线性非齐次差分方程265

习题10.3 267

总习题10 267

知识窗10微积分的诞生与发展268



部分习题参考答案与提示