金融计量学导论

金融学可以视为经济学的一个分支。当代金融学在巴施里耶（Louis Bachelier）、马科维茨（Harry Markowitz）等人的推动下逐步发展成为一门独立的经济学科。马科维茨发表在《金融学期刊》（The Journal of Finance）上的15页论文经常被视为当代金融学的开端。在该论文中，他为金融学引入两个重要指标：度量收益的期望收益率与度量风险的方差或标准差，从数学的角度表达了“高风险、高收益”这一理念。马科维茨（Harry Markowitz）与夏普（William Shape）、米勒（Merton Miller）一起分享了1990年的诺贝尔经济学奖，后两位的研究贡献则分别与资产定价（asset pricing）、公司金融（corporate finance）联系在一起，这也是金融学理论的两大主流领域。 同样，金融计量学也可以视为计量经济学的一个分支，是金融学、数学和统计学三者的统一。金融计量学从狭义上看，与2003年诺贝尔经济学奖得主恩格尔（Robert Engle）1982年在《计量经济学》期刊发表的论文中提到的自回归条件异方差模型（autoregressive conditional heteroskedasticity model，ARCH）联系在一起。收益率的方差或标准差（波动率），在经典的金融模型中至关重要，如资本资产定价模型（capital asset pricing model，CAPM）、布莱克—斯科尔斯—莫顿期权定价模型（Black-Scholes-Merton model，BSM）。因此，狭义上看，金融计量学是以方差或标准差为核心、对金融数据这一时间序列进行的建模与分析。但是，从广义上看，金融计量学是计量经济学的一个分支，计量经济学的基本理论都可以用于金融计量学。因此，本书对二者的区别不加以界定，仅在本书*后，对金融计量中常用的时间序列模型进行了简要解构。 对于金融学、数学与统计学在金融计量学中的关系，可以简要地这么来看：从金融理论出发，对要研究的金融问题或金融现象，收集整理相应的数据，构建金融计量实证模型并检验该实证模型的有效性，*后，在该实证模型有效的基础上，对所研究的金融问题或金融现象进行解释，修正并推进金融理论的发展。一言以蔽之：两头是金融学，中间是数学和统计学。因此，金融计量学既需要服从数学和统计逻辑，更需要服从金融逻辑。离开了金融逻辑的金融计量学，只是数学和统计学的方法论研究与应用，并不能称之为金融计量学。对金融逻辑的内在要求，是金融计量学与统计学的根本区别。金融学的基本理论是金融相关专业其他课程的核心内容，本书在金融理论的基础上，聚焦于金融计量学中的方法论解剖，即“轻两头、重中间”。 本章从金融理论出发，以“设模型、估参数、论性质、推分布、做检验、做预测”这六个核心步骤为主线，即以“实证六步”为主线，以*小二乘法为方法论基础，借助单变量回归模型，使读者对于金融计量建模拥有一般性了解。 第二节 金融计量学的六个核心步骤 一、设模型 在严格的数学逻辑体系上形成的金融理论，是进行金融计量实证分析的出发点。这里不妨以资本资产定价模型（CAPM）和套利定价理论（arbitrage pricing theory，APT）为例，进行说明。 CAPM模型有诸多推导方法，这里以投资组合理论（均值—方差模型）为基础。在马科维茨引入期望收益率与方差（标准差）来分别度量收益和风险之后，投资者不应再单纯追求高收益而忽略风险，应在收益与风险中找到一种平衡。投资问题可以表示为在给定投资组合的期望收益率下，寻求使得投资组合方差*小的资产配置权重；或者给定投资组合的方差，寻求使得期望收益率*大的资产配置权重。*优解可以表示为在标准差—期望收益率坐标中的双曲线的右上支，又可以表示为*优投资组合（权重）与期望收益率的线性关系。*优投资组合与期望收益率的线性关系，实质就是托宾（James Tobin，1981年诺贝尔经济学奖得主）在1958年提出的两基金分离定理：任意两个*优投资组合的线性组合依旧是*优投资组合。在两基金分离定理基础上，特雷诺（Jack Treynor）1961年猜想存在一种特殊的投资组合，使得任意证券的期望收益率都可以表示为该特殊组合期望收益率的线性关系，这里的特殊组合就是市场组合的雏形。随后，经由夏普、林特纳（John Lintner）、莫辛（Jan Mossin）等人的完善，逐步形成了资本资产定价模型： 其中，是市场中任意证券的期望收益率，表示无风险资产的收益率，表示市场组合的期望收益率。这时候证券的期望收益率就与市场组合期望收益率呈现线性关系，寻找出的两个基金分别就是无风险基金和市场组合基金。金融理论给出了金融逻辑，如何基于数学逻辑和统计逻辑进行金融计量建模呢？显然，无风险收益率不是需要估计的参数，才是需要估计的参数，这时候基于超额收益率进行金融计量建模： 这时候，将（）和（）分别视为被解释变量与解释变量，就完成了计量模型的构建，为截距项，理论上希望它为0。上式本质上就是一个单变量线性回归模型或一元线性回归模型，（）是解释变量，（）是被解释变量，希望能够估计出，同时希望的估计量为0。 但是，CAPM模型建立在严格的假设基础之上，需要知晓市场上所有证券收益率所形成的方差—协方差矩阵，或者需要对所有投资参与者的效用函数施加很强的限制，才可以得到精确定价公式。罗斯（Stephen Ross）1976年在放宽CAPM所需的一些严格假设基础上，提出了近似定价公式，这就是套利定价理论。它与CAPM的精确定价公式不同，受一组因素影响，表现为一个线性多因子模型： 其中表示系统因子（systematic factor），表示资产收益率对系统因子的敏感度，也称因子载荷（factor loading）。这时候可以与基于CAPM模型构建计量模型的过程类似，构建出包含多个解释变量的计量模型。 APT模型是基于统计理论构建的近似定价公式，具体的因子很难具备金融逻辑。也就是说，基于CAPM模型构建的实证模型，有坚实的理论基础，每个变量都有确切的金融学含义。但是，APT模型对应的实证模型，则更像是一个统计模型，很难为寻找出的因子建立相应的金融理论基础。金融实践中经常使用的法玛—弗兰奇（Fama-French）的三因子定价模型就是APT模型的一个应用。资产的收益率除了受市场组合收益率的影响之外，还受到账面市值比以及公司规模的影响。 因此，一个金融计量模型的构建，*好能够基于金融理论构建，如基于CAPM模型构建一元线性回归模型。但是，如果金融理论的前提假设过于苛刻，此时也可以从单纯的统计模型出发，基于统计模型拓展相应的金融学理论，发掘该统计模型的金融理论意义，实现从统计逻辑向金融逻辑的转变。 这里从一元线性回归模型出发，对金融计量学的建模步骤做简要的介绍。一元线性回归模型如下： 为被解释变量（或称因变量），为解释变量（或称自变量），为随机误差项或随机扰动项，和就是需要进行估计的参数。显然，该计量模型就可以对应金融理论中的CAPM模型。金融理论模型都是对现实的高度抽象概括，也包括高度的简化。简化现实世界中的次要影响因素，使模型只包含若干主要变量的抽象，体现着理论对现实世界的深刻洞察。显然，任何理论应当具有可证伪性（falsifiability），金融计量学的一个目的，就是利用现实中观测到的样本数据来检验模型。但是，单独的模型不具备可证伪性，因为总可把观察到的和之间的差异归结于随机变量这个“黑箱子”。完整的模型设定应当包括对的限制或假设（常见的是对期望、方差及分布函数的假设，如、、等假设），这些限制或假设使得模型具备了可证伪性。针对不同的经济问题及相应的数据性质，会对作不同的假定，从而讨论在不同假设下处理问题的有效方法。 实际应用中，首先应当考虑的是有较强假设但易于处理的模型，只有当现实数据显著地不支持这些假设时，才考虑假设较弱但更难处理的模型。前两章讨论经典的小样本理论，一系列假设的引入是处理方便的需要。读者将会看到，为了完成整个建模过程，需要逐步增加假设。 二、估参数 建立了金融计量模型之后，需要从实践中收集相应的样本数据来对参数进行估计，即利用现实中观察到的一组样本对参数进行估计。这里，首先需要对实验数据（experimental data）和非实验数据（nonexperimental data）进行区分，并明确得到样本 的方式。实验数据，是指自然科学实验等情景中在解释变量（自然科学更习惯用“自变量”一词）人为可控的状态下（即可控实验）获得的数据，比如物理学家可以按照自己的要求设置实验条件以获得不同条件下的实验结果；而非实验数据则是在解释变量非人为可控的情况下中获得的，常见于经济社会科学领域。非实验数据有时又称观测数据（observational data），强调研究者只能被动地观测记录数据，而无法对这些数据的产生过程进行控制，比如一个经济体的GDP、CPI等数据难以由个人控制。对样本而言，如果样本是在人为控制解释变量的值的情况下得到的，就称样本数据是实验数据，否则称其为非实验数据。对于实验数据，可以在控制的条件下得到样本，因此可将视为非随机变量；对于非实验数据，在得到样本前无法确定的值，因此应将视为随机变量。在本章，方便起见，将样本数据视为实验数据，即将样本中的所有解释变量视为给定。后面章节会证明，将样本中的解释变量视为可人为控制的非随机变量还是随机变量，两种情况下的分析基本一致，只存在些许差异。用条件期望代替期望，尽管解释变量具有随机性，但可以从技术层面上将其视为“非”随机变量。可以认为样本由以下数据生成过程（data generation process，DGP）产生： 需要注意的是，金融理论一般并没有给出一些参数的值，也无法直接检验现实中的是否满足推导中所需的假设。比如CAPM模型中并没有给出的数值。因此，检验CAPM的严格表述是：参数的估计量在统计上是否显著，参数的估计量在统计上是否显著为0。这里首先要做的是，通过一定的方法，用现实中观察到的样本估计参数，得到对应的估计量（estimator）、由于样本存在随机性，估计量可以直接由样本计算得出，因此也是随机变量。 参数估计方法较多，本书涉及的方法包括普通*小二乘法、*小一乘法、矩估计法、*大似然估计法等，不同的方法对计量模型的假设都不相同。仅从估计参数而言，*小二乘法不需要随机变量的任何分布就可以算出，*小一乘法的计算过程相对复杂，矩估计法和*大似然估计法都需要相应的分布假设。但是，在*小二乘法下，要想对参数进行检验，就需要施加更强的假设，如假设随机误差项服从正态分布，这在后面几节会看到。