完美数与斐波那契序列

第1章 完美数的历史 能找到的完美数不多，好比人类一样，要找一个完美的人亦非易事.——(法国)勒内 笛卡尔 1.1 何为完美数? 2000年，美国的克莱数学研究所提出了“千禧年数学问题”，共有七个难题，并承诺为每个难题的解决给予100万美元的奖赏.克莱(Landon Clay，1926—2017)是波士顿商人，他创办的数学研究所宗旨是“提升和传播数学知识”.仅仅过了三年，其中的庞加莱猜想就被数学家佩雷尔曼(Grigori Perelman，1966—)攻克.又过了三年，在马德里召开的第25届国际数学家大会上，国际数学联盟授予佩雷尔曼数学领域的*高奖——菲尔兹奖，但他自认为已经从数学研究中获得足够的乐趣，故而拒绝领奖.稍后，他也拒绝了奖金丰厚的千禧年奖. 也是在2000年，意大利数学家、伽利略奖和皮亚诺奖获得者皮 奥迪弗雷迪(P. Odifreddi，1950—)出版了《数学世纪——过去100年间30个重大问题》一书，阐述了20世纪取得重大突破的30个数学问题或进展，其中纯粹数学15个、应用数学10个、数学与计算机5个.*后，他提出了未解决的4个难题，首先就是“完美数问题”，另外3个是黎曼猜想、庞加莱猜想和 P=NP 问题.奥迪弗雷迪曾执教米兰大学和美国康奈尔大学，现为都灵大学的数理逻辑学教授，其哲学和政治观点趋近于罗素(Bertrand Russell，1872—1970)和乔姆斯基(Noam Chomsky，1928—). 完美数(Perfect number，希腊语)，又译为完全数或完备数，是指这样的正整数，它自身以外的因子(真因子)之和恰好等于其本身.或许古埃及人已对此类数感兴趣了，对此我们无法予以证实.但人们相信，公元前6世纪的古希腊数学家毕达哥拉斯(Pythagoras，约前580—前500)已经做过这方面的研究了，他知道6和28是完美数，这是因为 6=1+2+3， 28=1+2+4+7+14. 毕达哥拉斯声称，“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身.” 从定义可以看出，一个自然数 n 是完美数当且仅当它满足方程 图1.1毕达哥拉斯像 (1.1) 这里Σ是求和符号.若用希腊字母sigma来记，即，则(1.1)等价于 (1.2) 《圣经 旧约》首卷《创世纪》里提到，上帝用6天的时间创造了世界，第7天是休息日.1世纪成书的《论创造》是亚历山大的菲罗(Philo Judaeus或Philo of Alexandria，约前15—约50)的著作，这位操希腊语的犹太哲学家在书中声称，世界是在6天内创造出来的，月亮围绕地球旋转所需的时间是28天.后来，希腊神学家、圣经学家奥利金(Origen，约185—约254)和*博学的苦行者、盲人狄迪摩斯(Didymus the Blind，约313—约398)补充道，只有4个完美数小于10000. 图1.2 圣奥古斯丁像 5世纪初，古罗马哲学家、神学家圣奥古斯丁(Saint Augustine，354—430)在他的名著《上帝之城》中进一步写道：“6这个数本身就是完美的，并不因为上帝造物用了6天；事实上，因为这个数是一个完美数，所以上帝在6天之内就把一切事物都造好了.” 那以后，完美数尤其是数字6对人类就有了特殊的含义和吸引力.例如，19世纪的美国诗人萨克斯(J. G. Saxe，1816—1887)依据古印度的寓言故事，写成了一首诗《盲人与大象》，传遍了世界.这首诗的开头是这样写的， 六个印度斯坦男人 学习常常各有偏见 (虽说眼睛都已瞎了) 一次他们去看大象 各人用自己手触摸 心里头以为有把握 他们得出的结论分别是：身体像一堵墙，牙齿如标枪，鼻子像一条蛇，耳朵如扇子，大腿像一棵树，尾巴如粗绳. 1919年出版的英国作家毛姆(W. S. Maugham，1874—1965)的小说《月亮和六便士》，取材于法国画家高更(Paul Gauguin，1848—1903)的故事，逃避现实的主题使之成为流行小说，成为文学史的经典之作.1968年，美国导演库布里克(Stanley Kubrick，1928—1999)拍摄了鸿篇巨制《2001：太空漫游》，被公认为是引人深思的伟大影片之一.这部影片改编自科幻小说，虚构了人类登陆八亿公里以外木星的计划，主要人物也是6位，他们是大卫船长、飞行员弗兰克、机器人HAL9000和三位冬眠的宇航员. 1.2 《几何原本》 古希腊有两个欧几里得，一个是公元前5世纪后期苏格拉底的学生、麦加拉哲学学派创立者 Euclid of Magara，另一个是我们熟知的有着“几何学之父”美誉的数学家欧几里得(Euclid of Alexandria)，他生活在公元前4世纪和前3世纪之交，虽说我们不知道他的生卒年和出生地，但确信他曾在雅典的柏拉图学园求学，后来执教于亚历山大大学数学系. 欧几里得的代表作《几何原本》(Elements)主要讲几何学，但第7—9章是关于算术即数论的，包括给出前述完美数的定义，书中得到了偶数是完美数的一个充分条件，即 若p和均为素数，则 (1.3) 必定是完美数. 图1.3 19世纪的欧几里得塑像。现藏牛津大学博物馆 图1.4 《几何原本》英文版（1570） 为了证明(1.3)，我们先来给出上节定义的数论函数σ(n)的计算公式，同时论证它是可乘函数，也即对于任意互素的正整数m和n，恒有 首先，若n=p是素数，则显然它只有1和p两个因子， 其次，若n=pk，则n的每个因子必为形如pi的整数，此处故而，由等比级数的求和公式， 再次，设n是两个不同素数的乘积，n=pq，则n的所有因子为1，p，q和pq，故而，现在，假设m和n是互素的正整数，若d|mn，则由数论的整除性质可知，必定存在唯一的正整数dm和dn，dm|m，dn|n，满足d=dmdn.事实上，我们可以取dm=(d，m)，dn=(d，n).反之，若dm|m，dn|n，则由(m，n)=1，可知dmdn|mn.因此， σ(n)的可乘性得证. 有了σ(n)的可乘性，我们就可以得到它的计算公式 同时得知，(1.3)满足(1.2)，||表示刚好整除. 欧几里得的证明因为和互素，即，故由σ(n)的可乘性，可求得的一切因子之和为. 图1.5 柏拉图的弟子阿契塔 上述完美数的充分条件及其证明出现在《几何原本》第9章，属于命题36(*后一个命题)，在同一章的命题20，欧几里得证明了素数有无穷多个.另一方面，相传早在公元前4世纪，毕达哥拉斯学派的信徒、数学力学的奠基人阿契塔(Archytas，活动时期在公元前400—前350)就已经知道了这个充分条件.阿契塔是哲学家柏拉图(Plato，公元前427—前347)的挚友，曾担任希腊军队总司令一职，也被认为是风筝的发明者. 值得一提的是，《几何原本》中译本是在1607年出版的，由意大利传教士、汉学家利玛窦(M.Ricci，1552—1610)和明代学者徐光启(1562—1633)合作翻译.可惜他们只译出前6章.全译本要等到1857年才出版，后9章由英国传教士、汉学家伟烈亚力(A. Wylie，1815—1887)和清代数学家李善兰(1811—1882)合译.也就是说，直到那时，中国人才知道完美数.据说当年译完前6章时，徐光启余兴未了，要求译到第9章，利玛窦未予同意.否则的话，我们祖先会早4个世纪就知道完美数和素数的那些事了. 1.3 尼科马科斯 自从诞生以来，完美数就有着一种诱人的魔力，吸引着众多的数学家和业余爱好者，他们像淘金者一样，永不停歇地去寻找.接下来发现的第3个和第4个完美数分别是496和8128，大约在公元100年，新毕达哥拉斯学派成员尼科马科斯(Nicomachus，约60—约120)写下了名著《算术引论》( Introduction to Arithmetic)，提到了这两个完美数，这是现存*早的文字记录. 在《算术引论》一书中，尼科马科斯还提出了有关完美数的5个猜想，这些也是关于完美数*早的猜想： 图1.6 《算术引论》的阿拉伯文译本(901)，叙利亚数学家泰比特译，现藏大英图书馆 1)第n个完美数是n位数; 2)所有的完美数都是偶数; 3)完美数交替以6和8结尾; 4)《几何原本》中完美数的充分性也是必要的; 5)存在无穷多个完美数. 这其中，1)和3)后来被证明是错误的，4)被18世纪的瑞士数学家欧拉(L. Euler，1707—1783)证明了2)和5)，即今天所指的完美数问题. 尼科马科斯出生于罗马帝国叙利亚行省的杰拉什(Gerasa)，因此他被称为Nicomachus of Gerasa.事实上，公元前4世纪，古希腊出过一个叫尼科马科斯的画家，只是作者既没见到过他的作品，也不知两个尼科马科斯是否有血缘关系.