高等代数

1.1 数域 在生产实践或科学研究中，按照所研究的问题，我们往往需要明确规定所考虑的数的范围.在高中阶段，我们已经学习了复数及其基本性质.回顾一下，复数的集合 其中R表示实数集.复数的加、减、乘、除运算定义为 其中. 图1.1 1797年，挪威-丹麦的测量员韦塞尔(C.Wessel)赋予了复数z=a+bi明显的几何意义，它对应于复平面上的点(a，b)，如图1.1所示. 其中称为复数z的模.这里称为z的辐角.因此z又可表示为称为复数z的极坐标表示.如果，那么我们有著名的棣莫弗定理. 由此可得 命题1.1.1 在复数域中，方程的根共有n个，它们可以表示为 从而可分解为 证明设ω是的任一根，则ωn=1.设 于是.由棣莫弗定理知 从而 故 注 从上面定理中根ωk的形式可以看出，ωk为实数根当且仅当当且仅当为整数. 定义1.1.1 方程的根称为n次单位根. 定义1.1.2 设F是复数域C的一个子集，且.如果F中任意两个数的和、差、积、商(除数非零)仍然是F中的数，则称F是一个数域. 注 如果F中任意两个数在C的某种运算(加、减、乘或除)下的结果仍然在F中，则称F关于此运算封闭. 例1.1.1 (1)有理数的集合Q、实数集合R和复数集合C都构成数域，分别称为有理数域、实数域和复数域. (2)容易验证数集是一个数域，而且. 由于整数集合Z关于除法运算不封闭，因此Z并不是数域.事实上，我们可以得到下面命题. 命题1.1.2 有理数域Q是*小的数域，即如果F是任一数域，则. 证明 由于12F，归纳地，如果正整数n2F，则由加法封闭知.因此所有的正整数都属于F;又由于F关于减法封闭，则，从而所有的整数都属于F.对任意的有理数，存在整数且m6=0，使得.由于m，n2F，则它们的商，即所有的有理数都属于F.因此. 定义1.1.3 设R是复数域C的一个子集，且0，12R.如果R关于运算加、减、乘封闭，即R中任意两个元素的和、差、积仍然在R中，则称R是一个数环. 例1.1.2 整数集合Z与高斯(Gauss)整数集合都是数环. 如无特殊说明，本书中的数域F读者可理解为有理数域Q、实数域R或复数域C.F中的元素常称为标量(scalar).标量是用来表示“数”的一个词，通常用来强调一个对象是数，与后面引入的向量(vector)区分. 1.2 连加号 为了记号的方便，我们经常将若干个数连加的式子 (1.1) 简记为.这里ai表示一般项，i称为求和指标，P的上、下标表示i的取值由1到n.注意到求和指标i是可以改变的，例如(1.1)也可以记为 下面的和式 (1.2) 常简记为.在双重连加号中，一般连加号的次序可以交换，即 命题1.2.1 证明 对和式(1.2)，如果先按行求和，再将所得的行和加起来，则;如果先按列求和，再将所得的列和加起来，则. 思考 当m，n为无穷时，上述公式还成立吗？ 有时连加的数虽然是双指标求和，但相加的不是这些数的全部，而是指标满足一定条件的那些数，这时就在求和号下面写上指标所适合的条件即可.例如 我们采用连乘号表示n个数a1，a2， ，an的乘积a1a2 an. 1.3 数学归纳法 数学归纳法(mathematical induction)是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立. 数学归纳法所依据的原理是正整数集的一个*基本性质——*小数公理.设表示非负整数集合，即自然数集，N.表示正整数集合. *小数公理 自然数集N的任意一个非空子集S必含有一个*小数，即，使得. 注 设c是任意一个整数，令.那么，以Mc代替N，*小数公理仍然成立. 由*小数公理可以得到数学归纳法原理. 定理1.3.1 (**数学归纳法原理)设有一个与正整数n有关的命题，如果 (1)当n=0时，命题成立; (2)假设n=k时命题成立，则n=k+1时命题也成立， 则命题对所有的自然数成立. 证明 假设命题不是对所有的自然数成立.令S表示所有使命题不成立的正整数的集合，则由*小数公理，S中有*小数a.因为命题当n=0时成立，所以a6=0.从而是一个自然数.因为a是S中的*小数，所以.这就是说，当时命题成立.于是由(2)，当n=a时命题也成立，即矛盾！ 注 根据上面的备注，我们可以取Mc代替N，即如果一个命题是从某个整数c开始的，只需将(1)中的n=1换成n=c，用数学归纳法证明即可. 在应用中，数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求.例如完整归纳法(也称第二数学归纳法)，需要更强的归纳假设.可类似地证明如下定理. 定理1.3.2 (第二数学归纳法原理)设有一个与自然数n有关的命题，如果 (1)当n=0时，命题成立; (2)假设命题对所有小于k的自然数成立，则命题对n=k也成立.则命题对所有的自然数成立. 将Mc代替N，条件(1)换成n=c，其中c为任意整数，则命题对Mc成立. 1.4 一元多项式的概念 多项式是高等代数的有机组成部分，在数学、物理及工学等诸多领域有着广泛的应用.从表示论的观点来看，高等代数本质上讲的是数域F上一元多项式环F[x]的表示理论. 定义1.4.1 设x是一个符号(或文字)，n是一非负整数，F是一数域.形式表达式 (1.3) 其中，称为系数在数域F中的一元多项式，或简称为数域F上的一元多项式. (1.3)中称为多项式f(x)的k次项，ak称为k次项的系数. (1.3)中如果，则称为多项式f(x)的首项，an称为首项系数，n称为f(x)的次数，记作.(f(x))或deg(f(x)).若an=1，则f(x)称为首一多项式. 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0.零多项式不定义次数. 注中学阶段的多项式f(x)中的变量x一般是数，而现在定义的多项式f(x)中的x仅仅是一个符号，称为未定元，可以指代数、向量、矩阵、函数甚至文字等一切符号.因此，(1.3)中的幂运算xn、数ai与幂xi的乘法运算aixi以及加法运算会随着x具体指代的不同而有不同的含义. 定义1.4.2 如果多项式f(x)和g(x)同次项的系数对应相等，则称f(x)与g(x)相等，记作f(x)=g(x). 定义1.4.3 设多项式和，则多项式的加法与乘法运算定义如下: 多项式的加法满足以下运算律: 交换律f(x)+g(x)=g(x)+f(x); 结合律(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)); 零元律f(x)+0=f(x); 负元律f(x)+(-f(x))=0. 多项式的乘法满足以下运算律: 交换律f(x)g(x)=g(x)f(x); 结合律(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x)); 分配律(f(x)+g(x))h(x)=f(x)h(x)+g(x)h(x); 消去律f(x)h(x)=g(x)h(x)，h(x)6=0)f(x)=g(x). 由多项式次数的定义立即可得如下命题. 命题1.4.1 设f(x)和g(x)是数域F上的任意两个多项式，则 定义1.4.4 数域F上的一元多项式的全体，连同定义1.4.3中定义的加法和乘法运算，作成一个代数系统，称为数域F上的一元多项式环，记作F[x]. 例1.4.1 设f(x)为多项式，则f(x)=kx的充要条件为f(a+b)=f(a)+ f(b)，对于任意的a，b成立. 证明 必要性显然，下面来证明充分性.事实上，由条件 f(2x)=f(x+x)=2f(x)，