高等数学(下册)

第八章 向量代数与空间解析几何 类似于平面解析几何，空间解析几何通过建立空间坐标系，把空间的点与有次序的三个数对应起来，建立空间图形与方程的对应关系，从而可以用代数的方法来研究几何问题.本章介绍空间解析几何的基本知识，其对学习多元函数微积分也是必要的. **节 向量及其线性运算 一、向量的概念 在自然科学和工程技术中所遇到的量，可以分为两类.一类是只有大小没有方向的量，称为数量(或标量)，例如质量、温度、时间、面积等等.另一类是既有大小又有方向的量，称为向量(或矢量)，例如力、力矩、位移、速度、加速度等等. 通常用黑体字母或带有箭头的字母来表示向量，例如a，b或aG，b.在数学上，往往还用有向线段来表示向量：有向线段的长度表示向量的大小;有向线段的方向表示向量的方向.如图8-1所示，向量a的起点为A，终点为B，还可记作JAJJGB. 若两个向量a，b的大小相等，方向相同，则称这两个向量相等，记作a=b.由定义可以看出，两个向量是否相等与它们的起点和终 点无关，只由它们的大小和方向决定.以后我们所研究的都是与起图8-1点无关的向量，并称这种向量为自由向量.因此向量可以任意移动，且移动后所得的向量与原向量相等. 向量的大小也称为向量的模或长度.的模依次分别用|a|，|aG|，|AB|表示.模为1的向量称为单位向量.模为0的向量称为零向量，记作0或0G.零向量的起点与终点重合，它的方向是不确定的，可以看作是任意的.规定零向量都相等. 如果两个非零向量的方向相同或相反，就称这两个向量平行.由于零向量的方向是任意的，因此可以认为零向量与任何向量都平行.若向量a与向量b平行，记作a//b. 将彼此平行的一组向量的起点归结为同一点，它们的终点及公共起点应在同一条直线上，因此也称这组向量共线.类似地，若将一组向量的起点归结为同一点，它们的终点及公共起点在同一平面上，则称这组向量共面. 二、向量的线性运算 1.向量的加法 设有两个向量ab，任取一点A，作AB=a，再以B为起点作BC=b，记AC=c，则称向量c为向量a与向，量b的和(图8-2)，记作a+b，即或上述求两向量之和的方法称为向量加法的三角形法则.由向量相等的定义知用向量加法的三角形法则求得的两向量之和是唯一的，即与起点A的选取无关.若，同向，则a+b的方向与两向量的方向相同，而长度为两向量长度之和. ab若，反向，则a+b的方向与长度较大向量的方向相同，而长度为两向量长度之差的绝ab对值. JJJGJJJG若，不共线，则a+b也可由平行四边形法则得到JJJG.任取一点O，作再以OAOB为邻边作平行四边形OACB，则向量OC就是a与b，的和(图8-3).性质8.1.1向量的加法适合下列规律： (1)交换律. (2)结合律. 证(1) 当ab共线时，易知.当，不共线时，如图8-3所示，有 进而， (2)如图8-4所示，作.则 所以. 图8-2 图8-3 图8-4 因为向量的加法满足交换律和结合律，当n个向量，相加时，先计算任两个向量的和，所得到的结果都相等.因此n个向量的和可以记作 推广两向量加法的三角形法则，可得到多个向量加法的一般性法则：将多个向量经过平移，使它们首尾相连，连接**个向量的起点和*后一个向量的终点所得的向量就是这些向量的和.这种加法法则称为多边形法则(或折线法).具体地，若计算可依次作，如图8-5所示，则 如果两个向量大小相等但方向相反，则称这两个向量互为反向量.向量a的反向量记为.a，如图8-6所示. 向量b与向量a的差，记作.，定义为b与.a的和(图8-7)，即 图8-5 图8-6 图8-7 显然，任给向量AB及点O，有. 由三角形的两边之和大于第三边，有下面的三角不等式： 2.数与向量的乘积 定义8.1.1 实数λ与向量a的乘积规定是一个向量，称为λ与a的数乘，记作λa，它的模为;它的方向当λ>0时与a相同，当λ0.由定义8.1.1易知1a的长度为1，方向与a相同，即是与a方向相同的单位向量.上述由一个非零向量得到与它方向相同的单位向量的过程称为向量的单位化. 定理8.1.1向量b与非零向量a平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使. 证 充分性是显然的.下证必要性.设a//b.若b与a同向，取，则b=λa;若b与a反向，取λ=.||，则b=λa. 三、向量之间的夹角及向量的射影 设，则射线OA与OB构为两个非零向量，任取空间中一点O，作OA成的介于0和π之间的角称为向量a与b的夹角，记作，由定义易知：若ab同向，则;若;若，反向，则ab不平行，则0，π.设l是一个有向轴，A为空间中一点，过A作平面α垂直于l，则平面α与l的交点A′称为A在轴Gl上的射影或垂足(图8-9).设A′，B′分别为点A，B在轴Gl上的射影，则称向量A'B′为向量AB在轴上的射影向量(图8-10). 图8-9 图8-10 设e是与同向的单位向量，进而由定理8.1.1知，存在实数x使得则，称x为向量AB在轴l上的射影，记作，即注意是一个实数，且. 性质8.1.3 证 如图8-11所示，过点A，B分别作与轴l垂直的平面α，β，交点分别记，过点A′作与AB平行的直线，交平面β于点B1.则B′也是B1在轴l上的射影. 由性质8.1.3知，若ABCD，则PrGlAB=Gl对任意向量a，任取空间一点A作，则向量a在轴l上的射影，记作，等于.显然，的定义与A的选取无关.如图8-12所示，我们有以下性质. 图8-11 图8-12 性质8.1.4 若向量a是与轴l同向的非零向量，规定. 四、空间直角坐标系 在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，使平面上的点都能用唯一一组有序数对(x，y)表示.同样地，为了确定空间点的位置，需要建立空间的点与有序数组之间的联系. 在空间取一个定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点且具有相同的长度单位.这三条轴分别称为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称为坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴在铅垂方向上，且这三条数轴的正方向符合右手法则，即让右手的四指从x轴的正向以90D的角度绕向y轴的正向握住z轴，则大拇指的指向就是z轴的正向(图8-13).这样，点O及三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系，称为Oxyz坐标系.点O称为坐标原点(或原点). 三条坐标轴中的任意两条轴可以确定一个平面，统称为坐标面.x轴与y轴确定的平面称为xOy面，x轴与z轴确定的平面称为xOz面，y轴与z轴确定的平面称为yOz面.三个坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为卦限.由x轴、y轴和z轴的正半轴所围成的那个卦限叫作**卦限，第二、三、四卦限在xOy面的上方，按逆时针方向依次确定.第五至第八卦限在xOy面的下方，其中第五卦限在**卦限的下方，第六、七、八卦限按逆时针依次确定.这八个卦限通常分别用字母Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ表示(图8-14). 用i，j，k分别表示与x轴、y轴、z轴同向的单位向量.此时坐标系也称为坐标系.对空间中任意向量r，存在唯一一点M，使得以OM为对角线作长方体(图8-15)，则有 由定理8.1.1知，存在唯一的数组，使得，所以，这个式子称为向量r的坐标分解式.易知ijk分别为r在x轴、y轴、z轴的射影向量，x，，yz分别为r在x轴、y轴、z轴的射影. 图8-13 图8-14 图8-15 显然，给定了向量r，就唯一确定了点M(OM=r)及坐标轴上三个分量OPOQOR，，，进而唯一确定三个有序数;反之，给定三个有序数x，，yz，就唯一确定向量r及点.这样，在Oxyz坐标系下，点M、向量、有序数组之间有一一对应的关系称有序数组在坐标系下的坐标，记作或;有序数组xyz也称为点M在坐标系Oxyz下的坐标，记作.注意，记号(，，)既表示点M又表示向量OM.坐标面及坐标轴上点的坐标各有一定的特征.xOy面上点的坐标为面上的点的坐标为(0yz)，zOx面上的点的坐标为(0)z.x轴上点的坐标为轴上点的坐标为，z轴上点的坐标为.原点坐标为. 五、向量线性运算的坐标表示 设，则，进而 也就是说，向量的坐标等于其终点的坐标减去其始点的坐标.a(，，)x，即 设 则利用向量线性运算的规律，易得， 因此，