算极九章:数学高峰秦九韶

**章 小荷才露尖尖角 南宋嘉定十二年（1219），四川巴州城。秦季槱立于城楼上，他身上的衣衫被冷风吹得猎猎作响。寒气砭人肌骨，他却长时间地站立着，一动也不动。 “爹——”一名少年匆匆登上城楼，少年乃秦季槱的长子秦九良，年方十九，面容清秀，眉眼与父亲颇为相似。 “如何？”秦季槱的声音透着焦灼。 “已经动员城中百姓参与守城，所有愿效力者，即刻于城楼下集合。”秦九良答复。 秦季槱询问秦九良愿参与守城的百姓共有多少人，需迅速清点人数，投入训练以迎敌。秦九良支支吾吾：“只晓得略有千人，具体是个什么数，却未曾数清。” 不多时，城楼下黑压压地站满了人。秦季槱举目望去，除了青壮年，还有须发花白的长者，他长长地叹了口气。兴元军士权兴等作乱，犯巴州，敌众我寡。身为巴州知州，他需严防死守，保住这岌岌可危的城池与城中百姓。可是不知守城百姓的具体人数，该如何分派任务？ “爹，我有办法计算人数。”秦季槱正犯难，清朗的童音传来，一名唇红齿白、资质俊秀的男童跑到了他的面前，他是秦季槱的幼子、年仅十一岁的秦九韶。他从容沉稳，显露出与年龄不相符的成熟：“请您先下令，三人一队列阵。” “难道你要从高处计数，有多少个三人一队？”秦九良摇头，“千余人，即便将三人看成一人也数不清。” “我只需知道剩下几人没有成队即可。”秦九韶似乎有十足的把握。 秦季槱于是令城楼下的人依言照做。每三人一列，很快只剩下一人没有成列。 接着秦九韶又请父亲让百姓五人排一队。 秦九良困惑道：“为何如此？”秦季槱也感疑惑，但他知幼子天赋异禀，就照做了，很快百姓以五人为一队，发现有二人未成队。 秦九韶再次要求百姓七人排一队，这回秦九良面露不满之色：“小弟莫不是在开玩笑？” 秦季槱亦微怒：“生死关头，岂可儿戏！” 秦九韶却镇定以对：“此乃*后一次，请你们相信我。” 城楼下众人七人一队，即罢。秦九韶只对着*后一排掠了一眼，见三人为余，便高声道：“共有一千一百〇二人。” 秦九良怔了怔，问道：“那队形变换如此之快，我瞧着眼花缭乱，你是如何得出确切人数的？” “《孙子算经》中有一道题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三。我的方法便是从那儿得来。”秦九韶解释，“我让百姓以三人、五人、七人分别列队，便是希望人数与三、五、七之倍数有关。当三人一队余一时，需要寻找一个符合条件的数，以三除之余一，但又是五、七之倍数，如此七十便符合。” 他接着缓缓道来：“当五人一队余二时，以五除之余一，但又是三、七之倍数，二十一符合——” 不待秦九韶说完，秦九良像是揪住他的差错一样打岔：“五人一队的结果是余二，你怎的说是‘以五除之余一’？” 秦九韶朗声道：“二十一这个数乘余数二后，不就都满足了吗？” 秦九良略作思索，恍然悟到：先找到以五除之余一，且是三、七倍数的二十一，再乘原本真正的余数二，这样便能保证余数不变了。他流露出惭愧的神情，放下身段，折服道：“我明白了，你让七人排一队，是要找出‘以七除之余一，但又是三、五之倍数’的那个数……”他一拍脑袋，“是十五！再以十五乘原余数三即可。” 但惊喜过后，秦九良欲言又止，似乎谜题即将揭晓，但揭晓的那一刻又令他陷入了更深的困惑。 秦九韶明白兄长所思，接着解释道：“我知兄长困惑，若人数只有百来人，那*终这个数便是七十，加之二十一乘二，再加之十五乘三，也不过一百五十七人。但兄长说略有千人，那必定要将此数加大，而加大的那个数，要以三、五、七共同除之，又不能再有别的余数，如此，这个数必是三、五、七相乘之数倍多。” 秦九良这下彻底明白了：“三、五、七相乘为一百〇五，也就是说，一百〇五的数倍，再加上有余数的一百五十七人，达到了一千人数后便是精确的人数。” 秦九韶点了点头：“不错，一百五十七，加之一百〇五乘九，总数便是一千一百〇二人。” “小弟聪慧过人，为兄自叹不如。”秦九良由衷道。 秦九韶却有些沮丧地摇了摇头：“我只懂用算术点兵，却不懂以算术退敌。我翻遍了《孙子算经》，也找不到可借鉴之法，无法为爹爹排忧解难。” 秦九良将一只手轻搭在他的肩上，动作满含鼓励和期待：“以你的聪明才智，只需多加学习历练，将来定能自创算法，不光为爹爹排忧解难，还可为国为民效力。” 秦九韶眼神坚定地望着兄长，重重点了点头。 这是秦九韶与兄长的*后一次对话。那之后，秦季槱带着秦九良引兵三战叛军，城内百姓亦誓死守城，却终究难逃兵败城破的命运，秦九良战死沙场。叛军进城后烧杀抢掠，百姓逃亡途中，*疼爱秦九韶的祖母和秦九良的新婚妻子惨遭杀戮身亡。很长一段时间，秦九韶频频为梦魇所折磨，梦中的巴州城内火光冲天、尸殍遍地，妇幼哭喊呼救。祖母、兄长和嫂子躺在地上，浑身是血，奄奄一息，他匍匐前行，拼尽全身气力向他们靠近。一柄长刀当头劈下，眼前人头落地，鲜血喷涌……他惊叫着从梦中醒来，额汗涔涔，在黑暗中拥被而坐，满腔惨痛无从排遣。 嘉定十五年（1222），临安城外吴山脚下。北风卷地白草折，雪片如鹅毛、似棉絮从天际漫舞而下，万物皆晶莹。一名少年独立于雪中，那少年便是秦九韶，十四岁的他，已长成玉面剑眉、俏目隆鼻的翩翩美少年。人称“隐君子”的陈元靓结庐于此，秦九韶慕名而来，叩门却无人应答，他只得在小宅院外等候。天色渐暗，风、雪愈来愈大，朔风劲扑，大雪纷飞下，他身上的斗篷、风帽已全为落雪掩去，变成一片粉白。地上的积雪越来越厚，人也逐渐陷于积雪之中，但他仍不愿离开，唯有搓着手跺着脚，勉强抵御寒冷的侵袭。 一阵“嘚嘚”的蹄声从远处传来，打破了山野的沉寂，夹带着“隆隆”的车轮滚动声。一辆缓缓驶来的驴车上，坐着个二十来岁光景的男子，他身穿蓝绸子棉袍，披着白色的棉披风，清雅俊逸。车子到了秦九韶跟前，男子跳下车来，他有些诧异地望着变成了“雪人”的秦九韶。 “先生可是‘隐君子’陈元靓？”秦九韶当先询问。 “正是。”男子答道。 秦九韶当即拜倒在地，口中高呼：“听闻先生精通算术，恳请先生收在下为学生！” 陈元靓先是为这举动吃了一惊，继而上前将他扶起道：“外头风雪大，有什么话，进屋说。” 他领着秦九韶进了那宅院，两人抖落身上的积雪，在书斋内的交椅落座。秦九韶环顾四周，墙角有一个方形的大书柜，柜门对开，内部有分格，装满字画卷轴和各种书籍，桌案上摆放着笔墨纸砚等文房用具，桌案后有一扇屏风，以山水画装饰，好一间雅室。 陈元靓亲手煮汤点茶，请秦九韶品茗。茶汤清淡，宛若碧玉，秦九韶啜饮一口，赞道：“香如幽兰，甘醇可口。今日有幸得见先生，文人雅士之风实令人钦慕。” 陈元靓面露微笑：“你从何而来，为何要学习算术？” “在下名秦九韶，字道古，普州人士。家父乃工部郎中秦季槱。”秦九韶自报家门。当年巴州城破，亲人丧命，秦季槱带着幸存的妻子与幼子辗转抵达都城临安，后被任命为工部郎中。“区区不才，自幼蒙祖母垂爱，聘请普州很有学问的先生汝佾，为在下授业，训导德行。后随祖母、母亲北上巴州，与知军州事的父亲及兄长团聚。临行前，汝先生赠予在下其收藏的《孙子算经》。在下痴迷其中，但惭愧的是，虽通读《孙子算经》，却只懂用算术点兵，而不懂如何以算术备战抗敌。” “你想以算术备战抗敌？”陈元靓略微讶然，暗暗打量秦九韶，这通体俊雅书生的气质，全然不似能行军作战之人，“先说说，你是如何用算术点兵的。” 秦九韶于是将当年巴州的战乱，以及他如何清点守城百姓人数，细细向陈元靓道来。回忆伤痛的往事，仿若心口的伤疤再次被揭开，鲜血淋漓，亲人惨遭杀戮的惨痛，令他再度悲愤难当，眼眶泛红。 陈元靓了然叹气：“我有所耳闻，当年权兴等作乱犯多城，劫财杀戮，百姓遭殃。后来幸得朝廷增派援军，平定了叛乱。令兄英勇杀敌，战死沙场，可敬可佩。” “在下一直牢记兄长的鼓励之语，但在下愚陋，需高人指点。自创算法，为时尚早。如能先习得可供借鉴的备战抗敌算法，将来再遇战事，便可派上用场，为国效力。”秦九韶言辞恳切，“先生美名远播，与家父往来的许多名人学士，皆夸先生博览群书，学识渊博，尤其精研算术。望先生成全在下的心愿！” 陈元靓微微摇头，秦九韶以为他拒绝，脸色瞬间发白。但陈元靓只是说道：“你倒懂用算术点兵，那算法来自《孙子算经》中的‘物不知数’题。我且问你，你在巴州计算守城百姓的具体人数时，让百姓以三人、五人、七人分别列队，人数与三、五、七之倍数有关，*终算出总人数为一千一百〇二人。但假如当时愿参与守城的百姓并非略有千人，而是在十万人以上，你能用同样的算法计算出确切人数吗？” 秦九韶微微一怔，随即明白过来：“十万人，人数太多，倍数太大，用同样的算法，行不通。” “可有其他可行之解法？”陈元靓又问道。 秦九韶赧然：“并无解法，还请先生指点。” “我亦无解。数学博大精深，即便是有极度高超智慧的前人，也只能参透其中的些许奥妙。我虽研读过不少算术著作，但自认只能汲取成果，无法超越。”陈元靓坦然道，“你将来能否超越，要看个人造化。算术和道，其实是一体的，《道德经》有云：道生一，一生二，二生三，三生万物。万物皆由道生，而世间万物皆与算术相关。虽如今许多士大夫轻视算术，称之为‘九九贱技’，但早在周朝，算术便属于六艺，为礼、乐、射、御、书、数之一。你要利用算术为国效力，可以做的，远不止备战抗敌。学算术，*根本的目的是应用，国计民生，包纳广泛。你需多方涉猎，倘能触类旁通，则天下之能事毕矣。” 陈元靓说罢，抬手指了指那方形的大书柜：“我这书柜中，除了《孙子算经》外，还有《周髀算经》《九章算术》《五曹算经》《缉古算经》等历朝历代的算术著作，其中《九章算术》是*重要的一部，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。共包含了二百四十六道应用问题及其解法，涉及秦、汉之前社会的政治、经济、科学、技术等，算术内容极其广泛，且与实际生活密切相关。你若有兴趣，这部书便借予你。日后可经常到我这儿来，遇到不明白的，我们共同探讨。” 秦九韶霍然起身，神色显得十分激动：“如此说来，先生是答应收在下为学生了？” 陈元靓含笑道：“收学生谈不上，我尚不够资格，只能是稍加指点。” 秦九韶“扑通”一声跪倒在地：“老师在上，请受学生一拜！”他重重磕头。 陈元靓倒也不再推却老师之名，说了几句鼓励的话，便留秦九韶在此住宿。