基础数学讲义:走向真正的数学

第 一部分　数学直觉的背景知识

第 1 章　数学思维 / 2

1.1　概念的形成 / 3

1.2　基模 / 4

1.3　一个例子 / 6

1.4　自然数学与形式数学 / 7

1.5　基于人类经验建立形式化概念 / 8

1.6　形式化系统和结构定理 / 10

1.7　更灵活地使用形式数学 / 10

1.8　习题 / 12

第 2 章　数系 / 15

2.1　自然数 / 15

2.2　分数 / 16

2.3　整数 / 17

2.4　有理数 / 18

2.5　实数 / 19

2.6　绘图的不精确性 / 22

2.7　实轴的理论模型 / 22

2.8　不同数的不同小数表示 / 25

2.9　有理数和无理数 / 25

2.10　实数的必要性 / 27

2.11　小数算术 / 28

2.12　序列 / 29

2.13　顺序性质和模 / 30

2.14　收敛 / 32

2.15　完备性 / 34

2.16　递减序列 / 36

2.17　同一实数的不同小数表示 / 36

2.18　有界集 / 39

2.19　习题 / 42

第二部分　形式化的开端

第3 章　集合 / 46

3.1　成员 / 47

3.2　子集 / 51

3.3　是否存在宇集 / 53

3.4　并集和交集 / 55

3.5　补集 / 62

3.6　集合的集合 / 64

3.7　习题 / 66

第4 章　关系 / 68

4.1　有序对 / 68

4.2　数学的精确性和人类的理解 / 71

4.3　将有序对概念化的其他方法 / 73

4.4　关系 / 76

4.5　等价关系 / 78

4.6　例子：模n 算术 / 82

4.7　等价关系的一些细节 / 85

4.8　顺序关系 / 86

4.9　习题 / 89

第5 章　函数 / 92

5.1　一些传统函数 / 92

5.2　函数的一般定义 / 93

5.3　函数的一般性质 / 97

5.4　函数的图像 / 100

5.5　函数的复合 / 105

5.6　反函数 / 107

5.7　限制 / 111

5.8　序列和n 元组 / 112

5.9　多元函数 / 113

5.10　二元运算 / 113

5.11　集合的索引族 / 115

5.12　习题 / 116

第6 章　数理逻辑 / 119

6.1　陈述 / 120

6.2　谓词 / 121

6.3　所有和部分 / 123

6.4　多个量词 / 124

6.5　否定 / 126

6.6　逻辑语法：联结词 / 128

6.7　和集合论的联系 / 130

6.8　复合陈述公式 / 132

6.9　逻辑演绎 / 136

6.10　证明 / 138

6.11　习题 / 139

第7 章　数学证明 / 143

7.1　公理化系统 / 147

7.2　理解证明与自我解释 / 148

7.3　试题 / 149

7.4　习题 / 150

第三部分　公理化系统的发展

第8 章　自然数和数学归纳法 / 154

8.1　自然数 / 155

8.2　归纳定义 / 157

8.3　算术定律 / 160

8.4　自然数的顺序 / 166

8.5　 0的唯一性 / 168

8.6　计数 / 169

8.7　冯·诺伊曼的灵感 / 171

8.8　其他形式的归纳法 / 173

8.9　除法 / 175

8.10　因数分解 / 176

8.11　欧几里得算法 / 176

8.12　思考 / 179

8.13　习题 / 179

第9 章　实数 / 185

9.1　基本的算术结果 / 187

9.2　基本的顺序结果 / 190

9.3　构造整数 / 191

9.4　构造有理数 / 195

9.5　构造实数 / 196

9.6　有理数序列 / 197

9.7　 上的顺序 / 203

9.8　 的完备性 / 204

9.9　习题 / 206

第 10 章　作为完备有序域的实数 / 209

10.1　环和域的例子 / 210

10.2　有序环和有序域的例子 / 212

10.3　回顾同构 / 214

10.4　一些特征 / 216

10.5　和直觉概念间的联系 / 222

10.6　习题 / 223

第 11 章　复数以及后续数系 / 225

11.1　历史背景 / 225

11.2　构造复数 / 228

11.3　复共轭 / 230

11.4　模 / 231

11.5　欧拉的指数函数方法 / 234

11.6　余弦和正弦的加法公式 / 236

11.7　复指数函数 / 24

11.8　四元数 / 243

11.9　形式数学方法的转变 / 248

11.10　习题 / 248

第四部分　使用公理化系统

第 12 章　公理化系统、结构定理和灵活思考 / 252

12.1　结构定理 / 255

12.2　不同数学思维方法的心理学解释 / 257

12.3　构建形式化理论 / 260

12.4　后续发展 / 268

12.5　习题 / 269

第 13 章　置换和群 / 271

13.1　置换 / 271

13.2　作为循环的置换 / 274

13.3　置换的群性质 / 275

13.4　群的公理 / 278

13.5　子群 / 282

13.6　同构和同态 / 285

13.7　划分群来得到商群 / 287

13.8　群和子群的元素数量 / 290

13.9　定义群结构的划分 / 291

13.10　群同态的结构 / 295

13.11　群结构 / 297

13.12　群论在数学中的主要贡献 / 298

13.13　后续发展 / 302

13.14　习题 / 304

第 14 章　基数 / 307

14.1　康托尔的基数 / 310

14.2　施罗德- 伯恩斯坦定理 / 316

14.3　基数的算术 / 319

14.4　基数的顺序关系 / 323

14.5　习题 / 324

第 15 章　无穷小量 / 327

15.1　比实数更大的有序域 / 329

15.2　超有序域 / 332

15.3　超有序域的结构定理 / 332

15.4　在几何数轴上表示无穷小量 / 334

15.5　放大到更高维度 / 340

15.6　无穷小量的微积分 / 341

15.7　非标准分析 / 342

15.8　非标准分析的奇妙可能性 / 349

15.9　习题 / 352

第五部分　强化基础

第 16 章　集合论公理 / 356

16.1　一些困境 / 356

16.2　集合和类 / 357

16.3　集合论公理概述 / 358

16.4　选择公理 / 360

16.5　一致性 / 361

16.6　习题 / 363

附录　如何阅读证明：“自我解释”方法 / 364

如何自我解释 / 364

自我解释的例子 / 365

自我解释和其他方法的对比 / 365

练习证明1 / 366

练习证明2 / 366

记住…… / 367

参考文献 / 368