伯恩哈德·黎曼论奠定几何学基础的假设

第1章 导言 一篇没有公式的数学讲座， 一篇没有图片或插图的几何论文， 一份只有 16 页而且偶然产生的数学手稿， 但是， 它像少数那些长得多、详细得多、计算也仔细得多的重要著作一样， 改变了数学. 这方面， 我们可以提到 Leonhard Euler 所著的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》(Methodus inveniendi lineas curvas maximi minimive proprictate gaudentes)①创立了变分法；Carl Friedrich Gauss 的《算术研究》(Disquisitiones arithmeticae) 将数论确立为一门独立的学科②；Georg Cantor 的集合论， 它在数学中引入了现代的无限概念；Sophus Lie 的变换群理论， 它关于对称问题的系统研究构成了量子力学的数学基础；David Hilbert 关于各种数学学科公理基础的纲领性著作；*近， Alexander Grothendieck 关于代数几何和算术的系统统一上所做的工作. 我们在这里讨论的是伯恩哈德 黎曼的 Ueber die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grunde liegen(《论奠定几何学基础的假设》)， 这篇简短的论文写于 1854 年， 但直到 1868 年黎曼去世后才出版， 其广泛的影响甚至超越了上述那些著作. 这是因为它的地位处于数学、物理和哲学的交汇处， 它不仅建立并确立了一门核心的数学学科， 而且为 20 世纪的物理学铺平了道路， 同时也代表了对某些空间哲学概念永恒的驳斥. 本书将对数学领域这一重要文献进行编辑， 对其所处时代的争议进行定位， 并将其对数学发展的影响进行分析和比较. 黎曼的论文“Ueber die Hypothesen， welche der Geometrie zu Grunde liegen”以一种与欧几里得的《原本》、莱布尼茨和牛顿关于无穷微积分的著作或上面提到的所有著作截然不同的方式塑造和改造了数学. 它在某种程度上影响了数学作为一门科学的发展.此外， 本文对爱因斯坦的广义相对论影响也是必不可少的. *近， 它还提供了量子场论及其在理论基础粒子物理学 (超弦理论、量子引力等) 中的发展等理论的数学结构. 然而， 其影响的历史并不是线性的. 黎曼的例行学术报告 Ueber die Hypothesen，welche der Geometrie zu Grunde liegen 被召集到现场的是当时领头的德国物理学家赫尔曼 亥姆霍兹 (后来被封为爵士， 因此被封为冯 亥姆霍兹 (von Helmholtz))，他的反驳论文 . Uber die Thatsachen， die der Geometrie zu Grunde liegen(论几何学基础的事实) 的标题已经指出了一个相互矛盾的立场和方法. (不过， 在这篇文章中， 与黎曼的相似之处占主导地位，①其主旨不是反对黎曼， 而是反对康德的空间概念.) ②然而， 如果把亥姆霍兹在几何学基础上所作的工作简单地看作是已建立的权威对年轻天才的反对， 是保守的科学态度对代表新科学方向的主角的反对 (这种反对现在已经过时和被遗忘了)， 这是不正确的， 也是误导人的. 黎曼的工作部分是由一些模糊的自然哲学思辨所推动的， 反过来， 他的文章对自然哲学也有重要的影响，而亥姆霍兹的思考的起源是建立在感觉生理学上的， 在这里他的思想仍然高度相关. 此外， 亥姆霍兹还影响了另一个基本的数学理论， 即李氏对称群理论. 尽管 Lie对亥姆霍兹著作的数学方面提出了尖锐的批评， 但他还是采用了后者的概念方法.李氏对称群理论已成为量子力学的基石之一. 对称性和不变性的概念将现代物理学的直觉与黎曼和爱因斯坦意义上的几何数学框架联系起来. 从这个意义上说， 亥姆霍兹的论文包含了一个对现代物理学有远见卓识的方面， 尽管这一点只有在 Lie 的工作中才变得清楚， 而且很可能与亥姆霍兹的想法大相径庭. 黎曼的动机可能是一些模糊的自然哲学的思考， 他的工作反过来对自然哲学有重要的影响. 与此相反， 亥姆霍兹的思考首先是从感觉生理学开始的， 他的思想至今仍与此相关；其次， 他的思考还影响了一个非常重要的数学方向， 那就是李氏对称群理论. 尽管 Lie 对亥姆霍兹论文的数学细节提出了尖锐的批评， 但他还是继承了后者的概念方法. 李氏对称群理论成为量子力学的重要基础之一， 对称性和不变性的概念将现代物理学的物理直觉与黎曼和爱因斯坦意义上的几何数学框架联系起来. 在这个意义上， 亥姆霍兹的文章也为现代物理学发挥了先锋作用. 这种影响很可能与亥姆霍兹自己的想象大相径庭. 这与黎曼的文章形成鲜明的对比， 黎曼文章的影响不是直接的， 而是通过 Lie 的工作产生的. 值得注意的是， 黎曼的“假设”作为数学中的关键文献之一， 在没有数学公式的情况下进行 (在整个文本中， 只有一个公式， 它的重要性微乎其微). 这使得黎曼的文本有别于其他基础数学著作， 如莱布尼茨的复杂和深思熟虑的象征主义或康托尔的无限的形式化. 甚至是他*重要的先驱， 高斯的著作 Disquisitiones generales circa superficies curvas(《关于曲面的一般研究》) 作为黎曼几何的起点的现代微分几何的创立， 在这方面却有很大的不同. 至少在这种情况下， 数学的历史不仅仅是一个渐进的形式化过程， 而且事实证明， 数学抽象在原则上可以远远超越公式①. 黎曼对现代数学的决定性塑造， 达到了只有高斯 (Carl Friedrich Gauss) 的影响可以与之媲美的程度. 他不仅以在这里发表的他的就职演讲而创立了现代几何 (现代几何学*重要的部分因此被称为黎曼几何)， 而且他还创造了许多基本理论， 介绍了许多基本概念， 这些概念指导和影响了许多其他数学领域. 他的黎曼曲面概念巧妙地结合了复分析和椭圆积分理论. 这项工作同时也是拓扑学发展的起点. 相对于黎曼几何， 拓扑学研究与度量属性无关的形式和形状. 它也对现代代数几何产生了决定性的影响. 在此基础上， 在复变函数理论中引入了全新的分析工具. 后者， 即使一开始， 魏尔斯特拉斯就发现并指出了分析上的重要漏洞 (这些漏洞后来才被希尔伯特所弥补)， 为现代变分学和偏微分方程解的存在性理论奠定了基础. 反过来， 通过数值分析的方法来实现和控制它们， 这些构成了现代工程的基本工具. 一个新颖而开创性的想法是， 黎曼不再试图通过解析表达式来逼近复平面上的解析函数， 而是把它们看作是由它们的奇异点决定的 (极点， 即它们变成无穷大的点， 或者分支点). 这样他就可以给这样一个函数指定一个黎曼曲面， 然后根据黎曼曲面的拓扑来确定函数的定性性质. 它几乎辐射到现代数学的所有领域， 甚至革新了数论， 数论的解析表达式也可以用几何方法来解释和处理. 同样， 黎曼曲面理论的一个开创性的方面是， 黎曼不仅研究单个数学对象， 而且通过参数的可变性来概念化一类对象. 这就引出了模空间理论， 它是代数几何的基础. 因此， 黎曼曲面也构成了目前*有希望的统一已知物理力的弦理论的基本对象， 该理论用于统一已知的物理力. 所谓黎曼{罗赫定理 (古斯塔夫 罗赫 (Gustav Roch， 1839-1866) 是黎曼早期已故的学生， 他完成了黎曼在这些问题上的工作) 是 20 世纪下半叶数学的指导原则之一， 并在 Hirzebruch， Atiyah-Singer 和 Grothendieck 的著作中产生了现代数学的重要成果. 黎曼假设， 在其提出 150 多年后， 仍然被认为是所有数学中*难和*深奥的未解决问题. 黎曼传记 伯恩哈德 黎曼 (Bernhard Riemann) 是下撒克逊新教牧师的儿子，生于 1826 年， 死于 1866 年. 他一直非常依赖于他的家庭， 由于家中的多名孩子早亡而导致家庭财务状况无保障， 这使得黎曼处于非常困难的境地. 和数学史上大多数伟人一样， 他在上学时就显示出非凡的数学天赋. 犹豫了一阵之后， 他追随自己的天赋， 在哥廷根和柏林的科学中心学习数学而不是他父亲所希望的神学. 他的主要学术导师和榜样是卡尔 弗里德里希 高斯①和彼得 古斯塔夫 勒琼 狄利克雷 (Peter Gustav Lejeune Dirichlet， 1805-1859)②， 在高斯的指导下于 1851 年获得博士学位， 并参加了狄利克雷在柏林的许多讲座. 狄利克雷于 1855 年成为高斯在哥廷根的继任者， 黎曼在 1857 年被任命为副教授， 随后又于 1859 年作为哥廷根大学的一名全职教授而成为狄利克雷的继任者. 他腼腆多病， 但他丰富的数学洞察力、他的数学理论的大胆和独创性给科学界留下了深刻的印象. 他在家庭之外只与年轻的数学家理查德 戴德金 (Richard Dedekind， 1831-1916)③建立了更密切的个人联系. 经历了一个标准的学术生涯的步骤， 从讲师到哥廷根教授. 教授的薪水大大缓解了他的经济状况， 尤其是在他父母和弟弟去世后， 他还承担了负责三个未婚姐妹的责任. 由于健康问题， 他不得不延长在意大利的逗留时间 (意大利的气候更适合他)， 从而中断这一职位， 但在那里， 他于 40 岁之前死于肺病， 留下了妻子和一个年幼的女儿. 黎曼既没有像阿贝尔(Niels Hendrik Abel， 1802-1829) 和伽罗瓦 (Evariste Galois， 1811-1832) 那样年轻时就去世了， 他们在短暂的一生中只创造了一个重要的数学理论 (阿贝尔积分和群理论)， 他也没有活到像经常脾气暴躁、性格孤僻的高斯那样的老年. 他既没有欧拉 (Leonhard Euler， 1707-1783) 那种几乎无穷无尽的活力， 也没有雅可比 (Carl Gustav Jacob Jacobi， 1804-1851) 和菲利克斯 克莱因 (Felix Klein， 1849-1925) 那样的精力充沛. 他不能像大卫 希尔伯特 (David Hilbert， 1862-1943) 那样依赖一群才华横溢的年轻学生和合作者， 因为必要的制度等条件是后来由菲利克斯 克莱因等人在德国建立的 (后来又被纳粹再次摧毁， 他们驱逐、谋杀犹太数学家， 并流放那些不是犹太人但持不同意见的人). 但是高斯和黎曼造就了数学在德国尤其是在哥廷根的兴起， 而哥廷根首先使这种制度化成为可能. 据作者所知， 目前还没有针对普通读者的详细的黎曼传记①. 此外， 杰出数学家的传记并不罕见， 在一些国家甚至构成了民族自豪感的一种表达， 比如挪威数学家阿贝尔和李 (Sophus Lie， 1842-1899) 的传记， 作者是阿里尔德 斯塔豪格 (Arild Stubhaug). 在其他情况下， 例如由 Constance Reid 写的 David Hilbert 和 Richard Courant(1888-1972) 的传记在数学家中很受欢迎， 他们在当时艰难困苦的环境下的生活以及影响他们的历史事件也引起了人们的兴趣. 由于黎曼的一生是在一段平静的时间里度过的， 这段时间既没有戏剧性的个人故事也没有戏剧性的历史事件， 因此也就没有材料来讲述一个引人入胜的传奇故事. 同样， 人们对天才的崇拜(实际上黎曼就是一个很好的例子) 也没有像对待年轻的数学家阿贝尔和伽罗瓦或艺术家拉斐尔、莫扎特和席勒那样对他们产生崇拜， 他们的寿命和黎曼相仿. 如果我们把当时所谓的 “私人讲师” (privatdozenten， 即 private lecturers 私人讲师) 所处的不稳定的财务状况放在一边， 则从今天的角度来看， 黎曼的学术生活似乎没有问题. 这些私人讲师都是博士或博士后级别却没有固定的教授职位