随机因素下基于傅里叶变换技术的期权定价研究

第1章绪论 1.1研究背景及意义 1.1.1研究背景 受全球新冠肺炎疫情蔓延和石油价格战影响，2020年美国等多个国家的股市因暴跌出现多次触发熔断机制的情况，继2008年全球金融危机后再次极大地刺激了金融领域的风险管理意识如何管理和控制金融风险，已成为全球金融数学学科迫切需要解决的问题金融衍生品是指由过去传统的金融业务中派生出来的形态，是有关互换现金流量或旨在为交易者转移风险的一种双边合约，常见的有远期、期货、期权、互换等，其*大特征是依托一种投资机制来规避资金运作的风险，同时又具有在金融市场上炒作交易、吸引投资者的功能. 金融衍生品本质上是一种风险对冲工具，用来为股票、债券、抵押贷款等投资方式提供保险 . 1865年，芝加哥期货交易所推出了一种被称为“期货合约 ”的标准化协议，成为人类历史上*早的金融衍生品 .在金融衍生品交易初期，其规模很小，但由于金融衍生品大多利用资金杠杆，在市场景气阶段回报率惊人 .为了追求高额利润和卖点，华尔街投资银行创造出层出不穷的金融衍生品，如住宅抵押贷款支持证券、担保债务凭证、信用违约互换工具等 .从首*产品诞生到当前，金融衍生品不过一百五十几年的历史，但其发展异常迅速 .据美国期货业协会（Futures Industry Association，FIA）关于全球 80多家交易所衍生品交易情况的报告显示， 2006年全球期货与期权交易量为 118.8亿手， 2011年交易量达249.8亿手，2016年交易量达 252.2亿手，2021年交易量膨胀到 625.85亿手. 金融衍生品的出现，一方面为市场提供保本、套利等更灵活的投资工具和理财产品；另一方面丰富了投资者的交易策略 .通过对冲方式，极大地丰富了金融体系的交易品种，提高了金融体系的安全性和稳定性 .在 2008年金融危机中，金融衍生品对基础金融工具市场价格的稳定作用得到了充分展示 .以股指期货为例，在金融危机中，发达金融市场上的一些大型基金的金融投资者，通过在股指期货市场上的套期保值，有效地规避了投资组合市值下跌的风险 .由于我国避险机制不成熟，投资者大量现货头寸无法得到保值，投资业绩严重依赖大市的表现，只能被动承受下跌调整带来的损失 .此外，金融衍生品市场的一大重要功能是价格发现，即金融衍生品定价，金融衍生品市场的发展在一定程度上是争夺定价权的需要 .从国际范围来看，主要的国际金融衍生品定价中心所在国家都从中得到了巨大利益. 目前，中国市场上真正具有自主定价及平盘能力的金融衍生品种类比较少 .大力发展金融衍生品市场，并牢牢掌握市场控制权，对于维护我国金融安全有着十分重要的战略意义 .对生产企业来讲，需要控制原材料价格剧烈上涨风险，防范产品价格大幅下跌风险，规避利息支出突然上升风险，遏制外汇收入不断损失的风险；对机构投资者而言，需要能为手中的债券提供套期保值的工具 .要对风险进行有效的管理，首先需要对金融衍生品进行合理定价 .如何确定金融衍生品的公平价格是其合理存在与健康发展的关键 .在所有金融衍生品定价研究中，期权定价的研究*为广泛，这是因为首先与其他金融衍生品相比，期权易于定价；其次许多衍生证券可表示为若干期权合约的组合形式；*后各种衍生证券的定价原理是一样的，有可能通过期权定价方法找到一般衍生证券的定价理论. 1.1.2研究意义 期权是持有人在未来某一时间以某一确定的价格购买或出售某标的资产的协议.协议中的确定价格称为执行价格或敲定价格，确定日称为到期时间 .早在公元前 1200年，古希腊和古腓尼基的商人之间便已出现了期权交易的雏形 . 1973年，随着芝加哥期权交易所（Chicago Board Options Exchange，CBOE）的正式成立，真正的期权交易时代开始了，从此期权交易很快席卷了美国各大期权交易所. 1976年，澳大利亚的悉尼股票交易所推出了期权合约， 1978年，英国也有了期权交易市场，1987年，法国的巴黎期权交易所也开始挂牌交易， 2015年，上海交易所推出了中国**个场内期权交易品种——50ETF期权.目前，发达的西方国家大都有期权交易所，而且交易活跃，期权的品种非常多，既有欧式、美式等标准期权，也有由标准期权变化、组合、派生出的奇异期权 [1-2]. 期权根据所赋予的权利不同，可分为看涨期权和看跌期权 .看涨期权又称买权，即在未来某一时间，以某一确定价格买入某种标的资产（如股票）的合约 .设 K为执行价格， T为到期时间， ST为标的资产在到期时间的价格，看涨期权在到期时间的收益为 (ST . K)+，显然持有这种期权在未来价格上涨时较为有利 .看跌期权又称卖权，即在未来某一时间，以某一确定价格卖出某种标的资产的合约，看跌期权在到期时间的收益为 (K . ST )+，持有这种期权在未来价格下跌时较为有利 . 期权的基本特征是期权合约买卖双方的权利和义务不对称 .期权合约的买方（多头）有权根据市场变化情况决定执行权利还是放弃权利，同时期权合约的卖方（空头）只有义务而无权利，只要买方行使权利，卖方就必须按买方的要求履约反之，若买方认为行使期权对其不利，卖方无权要求买方履约 .这样，期权合约使得买方在不确定的市场环境中总是获益 .为此，期权买方需要付出一定的代价，即期权费，作为期权卖方承担义务的报酬. 期权的主要作用有投机、保值和对冲风险 .作为投机手段，投资者可通过购买或转卖期权以获取期权费的差价而获利，或者通过履行期权而获利；作为保值手段，当标的资产的价格走势与其预期的一致时，期权购买者可通过执行期权合约获得利润，反之则放弃执行该合约，此时*多只损失期权费；作为对冲风险的手段，若投资者购买某标的资产，但其未来的价格有下跌的走势，此时可通过购买一定数量的以此资产为标的资产的看跌期权，使得这一组合投资处于无风险状态 . 期权交易的一个主要环节是确定期权的价格，即期权定价 .在期权定价理论产生以前，人们无法准确估算面临大大小小机会的价值，主要凭借个人经验判断，因而决策失误通常在所难免 .期权理论产生以后，对这些机会的价值，可以做到定量的评估，只有从量上把握这些无形的机会，人们才能更好地利用它们. 期权定价理论和方法的研究对促进我国经济发展，特别是金融市场的发展和完善有着非常重要的意义 .伴随着我国国民经济的持续增长和金融改革深化步伐的加快，金融产品的创新必然会成为我国资本市场成长的中坚力量 .进一步加强对期权定价理论和方法的研究有助于设计有效的风险管理方法，确定正确的投资和融资决策，为政府和有关金融部门提供科学决策依据 .因此，有关期权定价理论和方法的研究具有非常重要的意义 .正如瑞典皇家科学院在颁发 1997年度诺贝尔经济学奖颁奖词中所提，期权定价理论和公式可以说是 25年以来经济学领域中*重大的突破和*卓越的贡献之一，带来了金融衍生品市场近十年来的迅猛发展. 1.2国内外研究现状 假设无风险利率 r为常数，标的资产不支付股息，不支付交易费和税收，不存在套利机会，Black等 [3]提出著名的 Black-Scholes（BS）模型，即标的资产价格过程 St适合随机微分方程： 其中，表示在 dt内 St的回报；常数 μ和 σ分别为期望回报率和标的资产价格过程的波动率；Wt为标准布朗运动.在 BS模型下，Black等 [3]创造性地归纳出一个广泛用于金融市场的欧式期权价格解析表达式，即著名的 BS公式： (1.2) 其中，S为标的资产价格；N( )σT为标准正态分布函数；r为无风险利率. 由于 BS公式中未含有标的资产的期望回报率 μ，因此不依赖于投资人的偏好. BS公式把所有人引向同一个以无风险利率作为投资回报率的中性世界，为金融领域的经济评估奠定了定量分析的基础，并被理论界和金融实业界广泛接受和使用. 1973年，Merton[4]将 BS公式推广为标的资产可连续支付红利，并放松无风险利率和标的资产价格的波动率为常数的假设，从而完善了衍生证券的定价理论.因此，Scholes和 Merton共同获得 1997年的诺贝尔经济学奖. 然而，BS模型与实际市场存在偏差，主要有三方面： （1）大量实际数据统计研究结果 [5-7]表明，股价实际回报比模型（1.1）刻画的峰更尖，尾部更厚. （2）从期权市场价格反过来研究标的资产的波动率也存在偏差 .假如 BS公式是对的，隐含波动率应该是常数，但是许多实证现象 [8-10]显示，隐含波动率具有以下特征： 1.波动率 “微笑 ”现象，即在以执行价格为横坐标的图上，隐含波动率呈现两头高、中间低的 “U”形图像； 2. “微笑 ”扁平化，隐含波动率是到期时间的减函数，即随着到期时间的增加， “微笑”曲率降低； 3. “微笑”浮动性，如果将隐含波动率表示为相对执行价格（执行价格和标的资产价格的比值），则隐含波动率随时间的变化比隐含波动率表示为绝对执行价格小. （3）股价往往并非光滑移动，偶尔会出现突发、不连续的价格波动.为了克服 BS模型的以上缺陷，许多学者从不同角度研究期权定价的理论与实际应用，取得了丰硕成果，主要有 BS模型的改进、奇异期权定价和期权定价数值方法的研究. 1.2.1 BS模型的改进 BS模型的改进有两大方向，一个是基于扩散过程的连续模型；另一个是基于跳扩散过程的不连续模型. 1.扩散模型 扩散模型中具有代表性的是局部波动模型和随机波动（stochastic volatility， SV）模型 .文献 [11]和 [12]通过令瞬时波动为时间，并结合标的资产价格的局部波动函数提出了非线性马尔可夫过程： (1.3) 随后，文献 [13]～[21]研究了类似的局部波动模型. 文献 [22]将波动看作一个随机过程，提出了随机波动过程： (1.5) 随后，文献 [23]～[32]研究了各种各样的随机波动模型. 除以上两类模型外，也有一些学者将利率风险引入 BS模型以建立更加符合实际的市场模型，如文献 [33]～[41]的随机利率模型，还有一些学者合并随机波动和随机利率，提出更一般的模型.例如，Scott[42]、Bakshi等 [43]、Amin等 [44]分别在随机波动模型中引入随机利率因子，提出了随机利率随机波动模型； Andreasen[45]在随机波动模型中引入 Hull-White随机利率因子，研究了欧式期权和 FX期权的定价问题； Ahlip[46]在随机波动遵从 O-U过程的假设下引入相关的 O-U随机利率因子，研究了外汇期权的定价问题； Grzelak等 [47]考虑了随机利率、Heston随机波动和标的资产过程的全相关结构，建立了更加一般的随机利率随机波动模型；文献 [48]和 [49]在 Sch.bel-Zhu随机波动模型中引入随机利率，并让所有的随机因子彼此相关，建立了一个更加一般的市场组合模型； Grzelak等 [50]通过引入 Hull-White随机利率因子，推广了随机波动外汇模型； Hautsch等 [51]合并随机利率和随机波动，推广了 Nelson-Siegel随机波动模型； Sattayatham等 [52]通过在随机波动模型中引入 Hull-White随机利率因子，推广了随机波动 Lévy模型；Zhang等 [53]综合考虑两因子 CIR随机波动和 Hull-White随机利率因子提出一个三因子随机模型； Zhang等 [54]提出一个三因子 CIR随机波动随机利率模型. 2.跳扩散模型 Merton[55]在 BS模型的基础上引入了对数正态跳跃过程，首次提出了 log正态跳扩散模型.此后，许多学者开始探讨类似的非连续市场模型，如文献 [56]～[63]等.