离散数学

目　录

第1章　命题逻辑　1
1.1　命题和联结词　1
1.1.1　命题的概念　1
1.1.2　联结词　2
1.2　合式公式与真值表　6
1.2.1　合式公式　6
1.2.2　真值表　6
1.3　永真式和等价式　7
1.3.1　永真式　7
1.3.2　等价式　8
1.3.3　代入规则和替换规则　9
1.4　对偶式与蕴涵式　11
1.4.1　对偶式　11
1.4.2　蕴涵式　12
1.5　范式和判定问题　13
1.5.1　析取范式和合取范式　13
1.5.2　主析取范式和主合取范式　15
1.6　命题演算的推理理论　18
习题　21

第2章　谓词逻辑　25
2.1　基本概念和表示　25
2.1.1　个体、谓词和谓词形式　25
2.1.2　量词　26
2.1.3　合式谓词公式　28
2.1.4　自由变元和约束变元　28
2.2　谓词逻辑的翻译与解释　29
2.2.1　谓词逻辑的翻译　29
2.2.2　谓词公式的解释　30
2.3　谓词逻辑的等价式与蕴涵式　31
2.4　谓词逻辑中的推论理论　32
2.4.1　推理规则　33
2.4.2　推理实例　34
2.5　谓词逻辑中公式范式　37
2.5.1　前束范式　37
2.5.2　斯柯林范式　38
习题　39

第3章　集合论　41
3.1　集合的概念及其表示　41
3.2　集合的运算及恒等式　43
3.3　有穷集的计数和包含排斥原理　49
习题　51

第4章　二元关系　55
4.1　多重序元与笛卡儿乘积　55
4.2　关系的基本概念　57
4.3　关系的运算　58
4.4　关系的性质　63
4.5　关系的表示　66
4.6　关系的闭包运算　70
4.7　特殊关系　73
4.7.1　集合的划分和覆盖　73
4.7.2　等价关系　75
4.7.3　相容关系　79
4.7.4　次序关系　82
4.7.5　偏序集合与哈斯图　84
4.8*　关系型数据库　87
习题　88

第5章　函数　94
5.1　函数的基本概念和性质　94
5.2　函数的合成和合成函数的性质　97
5.3　特殊函数　99
5.4　反函数　101
5.5　特征函数　103
5.6　基数　105
5.7*　不可解问题　108
5.7.1　不可解问题的存在性　108
5.7.2　停机问题　108
习题　109

第6章　代数系统　112
6.1　代数系统的一般概念　113
6.1.1　二元运算　113
6.1.2　代数系统　114
6.2　代数系统的基本性质　115
6.3　同态与同构　122
6.3.1　同态　122
6.3.2　同构　124
6.3.3　同态与同构的性质　127
6.4　同余关系　128
6.5　商代数　129
6.6　积代数　130
6.7　代数系统实例　131
习题　132

第7章　群与环　134
7.1　半群与群的定义　134
7.2　群的性质　136
7.3　子群与群的陪集分解　139
7.3.1　子群的概念　139
7.3.2　群的陪集与拉格朗日定理　139
7.4　循环群与置换群　140
7.4.1　循环群　140
7.4.2　置换群　141
7.5　环与域　142
7.5.1　环的概念与性质　142
7.5.2　域的概念　143
7.6　应用：群与网络安全　144

第8章　格与布尔代数　146
8.1　格的定义与性质　147
8.2　分配格、有补格与布尔代数　148
8.3　应用　150
习题　151
　　
第9章　图的基本概念及其矩阵表示　152
9.1　图的基本概念　152
9.1.1　图的定义及相关概念　152
9.1.2　节点的度　154
9.2　子图和图的运算　157
9.2.1　子图和补图　157
9.2.2　图的运算　158
9.3　路径、回路和连通性　160
9.3.1　路径和回路　160
9.3.2　图的连通性　162
9.4　图的矩阵表示　165
9.4.1　邻接矩阵　165
9.4.2　可达性矩阵　169
9.4.3　关联矩阵　172
习题　174

第10章　几种图的介绍　179
10.1　欧拉图　179
10.2　哈密尔顿图　181
10.3　二部图及匹配　184
10.3.1　二部图的概念及性质　184
10.3.2　二部图匹配　185
10.4　平面图　187
10.4.1　平面图的概念及性质　187
10.4.2　多边形图、对偶图及平面图着色　189
10.5　网络　192
10.5.1　网络的基本概念　192
10.5.2　网络流　193
10.5.3　网络*大流求解　194
10.5.4　开关网络　201
10.6　图的实例分析　208
10.6.1　中国邮递员问题　208
10.6.2　旅行售货员问题　210
10.6.3　排课问题　211
10.6.4　延时容忍网络问题　213
10.6.5　*短路径问题　214
习题　216

第11章　树　221
11.1　树与生成树　221
11.1.1　树及其性质　221
11.1.2　生成树与*小生成树　223
11.2　有向树及其应用　224
11.2.1　有向树　224
11.2.2　m叉树　225
11.2.3　有序树　227
11.2.4　二叉树的遍历　228
11.2.5　搜索树　230
习题　232

参考文献　235