数学分析习题集

**章 预备知识
归纳法
绝对值与不等式
函数概念
函数的几种特性
复合函数与反函数

第二章 极限
序列极限定义
序列极限的性质与运算
确界与单调有界序列
函数极限
函数极限概念的推广
两个重要极限
无穷小量的阶及无穷大量的阶的比较
用肯定语气叙述极限不存在

第三章 连续
连续与间断
连续函数的运算
中间值性质
初等函数的连续性
*大、*小值
一致连续性

第四章 导数与微分
导数概念
导数的几何意义与极值
导数的四则运算
复合函数求导
反函数与参数表示的函数求导
微分
高阶导数与高阶微分

第五章 利用导数研究函数
罗尔中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
洛必达法则
皮亚诺余项的泰勒公式
拉格朗日余项的泰勒公式
函数的升降与极值
函数的凹凸与拐点
函数作图
方程求根

第六章 不定积分
原函数与不定积分
不定积分的线性性质
**换元法
第二换元法
分部积分法
有理函数的积分
三角函数有理式的积分
无理函数的积分

第七章 定积分
定积分概念
微积分基本定理
可积函数
定积分性质
变限定积分
换元法
分部积分法
积分第二中值定理
近似计算

第八章 定积分应用
平面图形的面积
由截平面的面积求体积
平面曲线的弧长与曲率
旋转体侧面积
物理应用

第九章 实数空间
实数与极限
确界与区间套
紧性定理
完备性定理
连续函数的性质
压缩映象原理
上极限与下极限

第十章 反常积分
无穷积分的概念
无穷积分收敛性判别法
瑕积分的概念
瑕积分收敛性判别法

第十一章 数值级数
数值级数的基本概念与性质
正项级数
任意项级数
收敛级数的性质

第十二章 函数项级数
函数序列及函数级数的一致收敛性
一致收敛判别法
一致收敛的函数序列与函数级数的性质

第十三章 幂级数
幂级数的收敛半径与收敛区间
幂级数的性质
初等函数的泰勒级数展开
斯特林公式

第十四章 傅里叶级数
基本三角函数系
周期函数的傅里叶级数
傅里叶级数的收敛性
任意区间上的傅里叶级数
傅里叶级数的平均收敛性

第十五章 欧氏空间与多元函数
m维欧氏空间
欧氏空间中的点集
m维欧氏空间的性质
多元向量函数
多元函数的极限
多元函数的连续性

第十六章 多元数值函数微分学
偏导数
全微分与可微性
复合函数的偏导数与可微性
方向导数
高阶偏导数和高阶全微分
泰勒公式
由一个方程式确定的隐函数及其微分法

第十七章 多元向量函数微分学
线性变换
向量函数的可微性与导数
反函数及其微分法
由方程组确定的隐函数及其微分法
函数相关性

第十八章 多元函数微分学的应用——几何应用与
极值问题
曲线的表示法和它的切线
空间曲面的表示法和它的切平面
简单极值问题
条件极值问题
*小二乘法

第十九章 含参变量的积分
含参变量的定积分
含参变量的反常积分
计算含参变量积分的几个例子
欧拉积分——B函数与τ函数

第二十章 重积分
Rm空间图形的若尔当测度
在Rm上的黎曼积分
化重积分为累次积分
重积分的变量替换
重积分的变量替换（续）
重积分在力学上的应用

第二十一章 曲线积分
与曲线有关的一些概念
**型曲线积分
第二型曲线积分
平面上的第二型曲线积分与格林公式

第二十二章 曲面积分
曲面概念与曲面面积
**型曲面积分
曲面的侧
第二型曲面积分

第二十三章 场论
向量场的通量、散度和高斯公式
向量场的环量和旋度
保守场与势函数

第二十四章 微分形式与斯托克斯公式
微分形式的定义
外微分
微分形式的变量替换