复数与三角卷:问题驱动的中学数学课堂教学

第1章复数与三角函数简史 1.1复 数 简 史 1.1.1怪物的出现 古希腊的毕达哥拉斯(Pythagoras，公元前580—前500)认为： “宇宙一切事物的度量都可用整数或整数的比来表示，除此之外，就再没有什么了。”他的观点被他的学生希帕索斯(Hippasus，约公元前530—前500年，生卒年不详)彻底颠覆了，希帕索斯利用毕达哥拉斯证明的勾股定理(西方称其为毕达哥拉斯定理，当毕达哥拉斯证明了这个定理后，其学派内外异常兴奋，宰了100头牛以祭祀缪斯女神，故也称为百牛定理)证明了单位正方形的对角线长度就不是毕达哥拉斯所说的整数或整数的比，后人称之为根号2。这一发现不仅令毕达哥拉斯难堪，也让希帕索斯为此命丧大海，这就是历史上著名的**次数学危机。根号2 的出现，不仅让人类认识了一类新的数——无理数，也使数学的发展进入了一个新的里程碑。尽管人们无法否认无理数的存在，不过无理数的阴影笼罩着数学界达2000年之久。 16世纪中叶，当欧洲人还没有完全理解负数、无理数时，数学上又出现了一个“怪物”，这就是复数。实际上，早在公元1世纪，希腊数学家海伦(Heron of Alexandria，公元62年左右，生卒年不详)在解决平顶金字塔不可能问题的时候就提到过负数方根，这是关于复数*早的文献记载。但复数真正引起关注并让大家感到迷惑则是源于卡尔达诺(Girolamo Cardano，1501—1576)的三次方程求根公式，那个时候大家并不认为复数是个实实在在存在的东西，然而一些具有实根的三次方程用卡尔达诺的求根公式求解时却出现了负数的平方根。例如方程x3=15x+4有三个实根4，-2+3，-2-3，但把p=15，q=4代入卡尔达诺公式 1.1复数简史 第1章复数与三角函数简史 x=3q2+q22-p33+3q2-q22-p33 时，平方根内部出现了负数q22-p33=-121＜0，用这个公式并不能得到上面的三个实根，而是下面这个莫名其妙的“怪物”： x=22+-121+32--121。 卡尔达诺的确也考虑过二次方程问题，他在《重要的艺术》(1545)一书中提出了一个问题： 把10分成两部分，使其乘积为40。它等价于求解二次方程x(10-x)=40，这个方程的根是5--15 和5+-15，卡尔达诺声称： “不管会受到多大的良心责备，”把5--15 和5+-15相乘，可得25-(-15)=40。接着他评价道： “算术就是这样神妙地搞下去，它的目标，正如常言所说，是既精致又不中用的。”法国数学家笛卡儿(Descartes,1596—1650)不承认复根，他造出了“虚数”(imaginary number)的概念。那时人们对复数的认识可以用莱布尼茨(Leibniz,1646—1716)的话来概括： “圣灵在分析的奇观中找到了超凡的显示，这就是那个理想世界的祥兆，那个介于存在与不存在之间的两栖物，那个我们称之为虚的-1的平方根。”在复数找到它的几何与物理背景之前虽然常被大家提及，但并没有引起足够的重视，在经历了200年数学与自然科学漫长的发展之后，人们发现了它的几何与物理背景，这才使得复数广为大家认同，成为数学的重要概念，随之发展起来的复变函数对数学、物理学都产生了深远的影响。 1.1.2虚数的萌芽 如前所述，复数由萌芽直到*终为人们普遍接受经历了相当长的时间。卡尔达诺、莱布尼茨等数学家们大概没有料想到复数特别是复变函数理论如今已是一个内容十分丰富并在数学与自然科学的各个领域发挥了举足轻重影响的重要理论。 虚数概念诞生于“荒谬的矛盾”中，带着“虚无缥缈”的色彩。虚数概念*早的确源于高次方程的求解。众所周知，代数方程的求解一直是古代数学的核心问题之一。人们很早就懂得二次方程的配方法，从而发明了求根公式。古希腊数学家丢番图(Diophantus,200—284)在求解一元二次方程过程中就曾遇到过负数开平方的情形。关于负数的平方根，在16世纪之前就常常会遇到，但由于它缺少实际背景，数学家们均认为这类方程没有意义。 虚数再次出现于1545年，如前所述，在意大利文艺复兴时期，数学家卡尔达诺在《重要的艺术》一书中提到一个后来常被引用的问题： 将10分成两部分，使它们的乘积等于40。 卡尔达诺运用增量法求解方程组： x+y=10， xy=40。 设x=5+t，y=5-t即10=(5+t)+(5-t)，于是 （5+t）(5-t)=40, 52-t2=40, t2=52-40， t2=-15。 卡尔达诺比前人走多了一步，他进一步“形式化地”得出所谓的： t=-15，即x=5+-15, y=5--15。 进而运用算术的平方差公式的“形式化运算”进行验算，得 （5+-15）（5--15）=25-（-15）=40。 卡尔达诺在书中指出这很“矫揉造作”，但却能自圆其说。 卡尔达诺突破传统地承认5+-15和5--15这种数，并将它们用于算术运算，而且发现： 过程很“虚幻”但结果又不矛盾。 在《重要的艺术》中卡尔达诺进一步系统地讨论了高次方程求解的相关问题，包括三次、四次代数方程的公式解。数学史上三次方程一般解法的优先归属权本属于塔尔塔利亚(Tartaglia，1499—1557，意大利)，虽然卡尔达诺在书中也作了解法来源的说明，但由于《重要的艺术》的影响力，三次方程的求根公式*终还是被冠以“卡尔达诺公式” 或“卡当(或卡丹)公式”流传开来。 按照欧洲人的习惯，那时的方程只有正系数项，在《重要的艺术》中卡尔达诺将各种含二次项的三次方程转化为下列4种不含二次项的方程： x3=px+q,x3+px=q,x3+px+q=0, x3+q=px(其中p,q均为正数)。 《重要的艺术》还对每种方程解的正确性分别给出了几何上的直观证明。探讨过程并非一帆风顺，卡尔达诺、塔尔塔利亚和此后的另一位意大利数学家邦贝利(R.Bombeli,1526—1572)都曾讨论了三次方程求解的一个不能合理解释的疑难点，即三次方程的3个根是不同的实数，但此时方程的求根公式中却出现了负数的平方根，称之为“不可约”。 邦贝利通过观察和试算发现，三次方程x3=15x+4有3个根4，-2+3，-2-3，这3个根都是实数。 另一方面邦贝利套用卡尔达诺公式却得到了令人困惑的不同结果。邦贝利考察了方程： x3=px+q(其中p,q均为正数)。 设x=3u+3v(分离变量法)，于是 (3u+3v)3=p(3u+3v)+q, u+v+33u3v(3u+3v)=q+p(3u+3v)， 从而 u+v=q, 33u3v=p,即u+v=q, uv=p33。 u和v是一元二次方程y2-qy+p33=0的根，即 u，v=q2±q22-p33。 于是得到方程x3=px+q的一个正根 x=3q2+q22-p33+3q2-q22-p33。 对于三次方程x3=15x+4，即取p=15，q=4，于是出现了 “不可约”情形，即q2-p33=-121＜0，求解公式中的被开平方数是负数，并非前面所说的3个实数根中的任何一个，而是一个不明的“怪物” x=32+-121+32--121。 相比卡尔达诺和塔尔塔利亚，邦贝利又向前多迈了一步，他猜想既然2+-121和2--121只相差一个符号，那么它们的三次方根也应该只相差一个符号。于是他假设 32+-121=a+-b，32--121=a--b, 由此解出： a=2和b=1，于是得 x=32+-121+32--121=(2+-1)+(2--1)=4。 聪明的邦贝利利用两个“怪物”-121和-1解决了两种解法所得不同结果之间不和谐的矛盾，使得这个“怪物”多少有了一点存在的理由。笛卡儿将这个“怪物”命名为“虚数”(imaginary number)，-1称为虚数单位，记为i，即i2=-1。 邦贝利创造了复数的代数形式，并使用了与实数类似的算术运算法则。