随机过程

第1章 随机过程的基本概念 随机过程产生于 20 世纪三十年代， 其研究对象与概率论一样， 是随机现象. 随机过程研究的是随 “时间” 变化的 “动态” 的随机现象. “计算机之父” 冯 诺依曼教授把随机过程与概率论的关系比作物理学中动力学与静力学的关系. 近 40年来， 随着物理学、生物学、自动控制、无线电通信及管理科学等方面的需求与相关问题的解决， 随机过程逐步形成为一门独立的分支学科， 在自然科学、工程技术及社会科学中日益呈现出其应用价值和蓬勃的发展趋势. 1.1 随机过程的定义 1.1.1 随机过程的基本概念 在概率论中， 研究了一维随机变量、二维随机变量、n 维随机向量， 其极限定理中， 涉及了无穷多个随机变量， 但局限于它们是相互独立的情形. 将上述情形加以推广， 即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量就是随机过程. 定义 1.1.1 设 E 为随机试验， S = {e} 为样本空间， 如果对于每一个参数t ∈ T， X(e， t) 是建立在样本空间 S 上的一维随机变量， 而且对于每一个样本点e ∈ S， X(e， t) 是建立在集合 T 上的一个实函数， 那么， 随机变量族 {X(e， t)， e ∈S， t ∈ T} 为一维随机过程， 简称随机过程， 简记为 {X(t)， t ∈ T} 或 X(t). 例 1.1.1 将一枚硬币接连抛掷 n 次， 并观察正面 H 出现的次数. 表 1.1 是历史上若干科学家试验结果的记录. 表 1.1 试验结果的记录 假设有一个永不停息的机器， 每时每刻地做抛掷一枚硬币的试验， 当 t 时刻硬币出现正面 H 时， 发出余弦信号 cos πt; 当 t 时刻硬币出现反面 T 时， 发出当前所处的时间 t， 那么， 这样一来得到一族无穷多个的随机变量， 这就是一个随机过程 X(t). 解 根据上述所述， 随机过程 X(t) 的定义为 (1.1) 其样本空间是一枚硬币被抛掷一次的样本空间 Ω = {正面 H， 反面 T} 的笛卡儿乘积， 而且 对于固定的某一个参数 t0∈(.∞，+∞)， X(e， t0) 是建立在样本空间 Ω={正面 H， 反面 T} 上的一维离散型随机变量. 假设每时每刻抛掷一枚硬币出现的都是正面， 则 X (H， t) = cos πt; 假设抛掷硬币交替出现正面和反面， 则发出的信号在余弦信号 cos πt 和当前所处的时间t 交替变换. 换句话， 即对于每一个样本点 e ∈ S， X(e， t) 是建立在参数空间T = (.∞，+∞) 上的一个实函数. 所以， {X(e， t)， e ∈ S， t ∈ T} 是一个随机过程. 定义 1.1.2 设 {X(e， t)， e ∈ S， t ∈ T} 是一个随机过程. 对于随机过程 X(t)进行一次试验， 即给定样本点 e ∈ S， 得到一个实函数， 该实函数称为随机过程的样本函数， 图像称为样本曲线， 相应的 T 称为参数空间. 当时刻固定为 t0， 样本点固定为 e0 时， 随机过程的取值为某一个实数， 记为 x0， 称为 X(t) 在 t0 时刻样本点 e0 所处状态为 x0， 所有状态构成的集合称为状态空间， 记为 I. 例 1.1.2 设质点 M 在一直线上移动， 每单位时间移动一次， 且只能在整数点上移动， 质点 M 的移动是随机的， 试建立描述这一随机现象的随机过程. 解 设 Xi 为第 i 个单位时间质点 M 移动状态的随机变量， 那么 设 Yn 为质点 M 在 n 个单位时间内移动到达的位置， 那么 (1.2) 显然， 对于每一个参数 n ∈ N，是建立在样本空间 S 上的一维离散型随机变量. 假设质点 M 每一次都向右移动， 即取定样本 Xi = 1， 那么 这是随机过程的一个样本函数. 所以，是一个随机过程， 该随机过程通常被称为随机游动， 其参数空间为 T = {1， 2， }， 其状态空间为 I = {0，±1，±2， }. 例 1.1.3 随机相位余弦波过程， 其定义如下： (1.3) 其中 a 是一个常数， ω 是一个常数， θ 是服从均匀分布 U(0， 2π) 的随机变量. 那么， {X(t)， t ∈ (.∞，+∞)} 是一个随机过程. 解 固定 t0 ∈ T， X (t0) = a cos(ωt0 + θ) 是一个连续型随机变量. 在 (0， 2π) 内随机取一数 θ， 相应地， 得到一个样本函数， 这一族样本函数的差异在于它们的相位 θ 不同， 故这一随机过程称为随机相位余弦波过程， 也称为随机相位过程. 随机相位余弦波过程的参数空间为 T = (.∞，+∞)， 状态空间为I=[.a，+a]. 例 1.1.4 设某城市的 120 急救中心电话台迟早会接到用户的呼叫， 以 X(t) 表示时间 [0， t) 内接到的呼叫次数. 那么， {X(t)， t . 0} 是一个随机过程. 解 固定 t0 ∈ T = [0，+∞)， X(t0) 是一个离散型随机变量. 假设 120 急救中心电话台接到用户的第 1 个呼叫的时间为 t1， 第 2 个呼叫的时间为 t2， 以此类推， 第 n 个呼叫的时间为 tn， 那么， 显然 t1 < t2 < < tn， 得到随机过程 X(t) 的样本曲线， 其样本曲线的图形如图 1.1 所示. 图 1.1 随机过程 X(t) 的样本曲线